Главная > Математика > Курс математического анализа
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 6.8. Касательная

В пространстве, где определена прямоугольная система координат пусть задана гладкая кривая, определяемая вектором (рис. 6.5). Будем считать, что отсчет дуги выбран так, что с возрастанием параметра ее длина возрастает (как в § 6.7).

Рис. 6.5

Положим Вектор имеет направление касательной к нашей кривой в точке поэтому произвольная точка касательной определяется вектором

где произвольное число (текущий параметр касательной), ведь векторы коллинеарны.

Равенство (1) есть уравнение касательной к кривой в точке в векторной форме.

Из (1) следует, что уравнения касательной в декартовых координатах имеют вид

или

Обозначим через углы, которые образует положительное направление касательной (направление ) соответственно с положительными направлениями осей координат Очевидно,

где обозначает, что в надо подставить значение соответствующее Перед корнями стоит знак потому что мы согласились, что длина дуги возрастает вместе с

Кривую, заданную в плоскости можно рассматривать как частный случай кривой в пространстве, у которой Поэтому соотношениям (2) в плоском случае соответствует одно уравнение

Положительное направление касательной образует в этом случае с осью х угол а, для которого

Итак, вектор касательной к ориентированной кривой Начало его берут в точке касания к Направлен он по касательной в сторону возрастания

Единичный вектор касательной:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление