Главная > Математика > Курс математического анализа
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 6.11. Кривизна и радиус кривизны кривой

Кривизной окружности радиуса называется число Это число можно получить как отношение угла между касательными в концах какой-нибудь дуги окружности к длине этой дуги. Это определение дает идею определения кривизны, пригодного для произвольных гладких кривых.

Рассмотрим гладкую кривую (рис. 6.12). Она спрямляема, и имеет смысл говорить о длине любой ее дуги Угол

между (положительными) направлениями касательных к дуге в ее точках называется углом смежности дуги Отношение угла смежности дуги к ее длине называется средней кривизной дуги (см. рис. 6.12). Наконец, кривизной кривой в ее точке А называется предел (конечный или бесконечный) отношения угла смежности дуги кривой к ее длине когда последняя стремится к нулю:

Таким образом, По определению величина (где считается, что называется радиусом кривизны в точке А.

Из векторной алгебры известно, что

так как Знаменатель здесь не равен нулю, потому что у гладкой кривой При знаменатель стремится к а числитель стремится к нулю. Введем длину дуги нашей кривой. Длина куска равна Из следует потому что допустимые параметры гладкой кривой (см. § 6.7).

Рис. 6.12

Будем теперь предполагать, что радиус-вектор нашей гладкой кривой имеет вторую производную и при этом условии докажем существование конечной кривизны в точке А (определяемой параметром

В силу (1), (2) кривизна в точке равна (пояснения ниже)

т. е.

В третьем члене (3) мы заменили на под знаком предела. Это законно, ведь если для стремящейся к нулю последовательности значений соответствующие значения больше нуля, то и применима теорема 2 из § 4.10, если же значения равны нулю, начиная с некоторого, то для них и снова верно второе равенство (3).

Если параметр есть длина дуги то, как мы знаем, и вектор перпендикулярен к поэтому (см. третий член (4))

В плоском случае выражение кривизны через координаты выглядит так:

Мы уже пользовались обозначением (см. § 6.9).

Если плоская кривая задана уравнением где функция в окрестности точки х имеет непрерывную производную и в самой точке вторую производную, то, полагая в последней формуле получим

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление