Главная > Математика > Курс математического анализа
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 7.19. Дифференциалы неявных функций. Линеаризация

Мы знаем, что для уравнений

подчиняющихся условиям теоремы существования неявных функций (теорема 1 § 7.15) существуют непрерывно дифференцируемые функции

обращающие эти уравнения в тождества

Таким образом, в уравнениях (1) переменную можно считать независимой, а у — от нее зависимой. Из (2) следует

Мы получили систему дифференциалов

Дифференциалы независимые (произвольные числа), а дифференциалы зависящие от них.

Зависимость линейная, но с коэффициентами, зависящими от Левая часть (3) есть функция от х, тождественно равная нулю на Ее дифференциал в любой точке равен нулю:

каковы бы ни были независимые дифференциалы Но записывается еще как функция

где функции от х. Согласно инвариантного свойства дифференциала равенство (6) можно записать также в виде:

где, если считать числа прежними, числа определяются (через ) по формулам (4). В частные производные надо подставить рассматриваемую точку х и точку у, вычисленную через х по формулам (2).

В самом деле, исходным произвольным числам уже соответствуют числа при помощи равенств (4). Они удовлетворяют также системе (7). Но других чисел удовлетворяющих (7) при данных нет, потому что определитель не равен нулю. Мы получили важный факт.

Если уравнения (1), подчиняющиеся теореме существования, формально продифференцировать и приравнять нулю:

(подставив в частные производные то, если определитель отличен от нуля, числа можно считать независимыми, а числа вычисляются однозначно по ним из системы (8). При этом окажется, что числа являются дифференциалами решений системы уравнений (1), соответствующими дифференциалам Пример. Функции (см. (2))

определяют непрерывно дифференцируемое отображение куба с центром в в -мерное пространство

Покажем, как его можно в окрестности точки линеаризовать, т. е. записать приближенно при помощи линейных функций от х. Положим

Имеет место

Поэтому можно для малых считать приближенно:

или, полагая получить приближение приращения функции посредством линейной функции:

Однако числа нас получились вычисленными через функции которые для любого х нам не известны. Но с другой стороны, мы знаем, что имеет место эквивалентность системы

системе

Положим в подставим эти числа в (10) и решим (10) относительно чисел

Найденные и исходные дифференциалы подставим в (9). Получим

т. е. получим 1-й столбец матрицы

Эту процедуру придется совершать раз — для любого

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление