Главная > Математика > Курс математического анализа
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 8.4. Многочлены

В § 5.9 было уделено внимание многочленам степени :

где коэффициенты и переменная х считались действительными.

В этом параграфе мы будем рассматривать более общие многочлены степени

где вообще говоря, комплексные коэффициенты, а переменная, пробегающая любые комплексные значения.

Если 2 в правой части (1) заменить на возвести в требуемые степени и привести подобные члены с одинаковыми степенями то представится в виде суммы по степеням

Производная от порядка к (в комплексном смысле; см. § 8.3) равна

Поэтому

Мы получили формулу Тейлора для многочлена по степеням . Из нее следует, что имеет единственное разложение вида (2): если два многочлена тождественно (т.е. для всех равны, то коэффициенты их при одинаковых степенях равны, потому что они определяются одними и теми же формулами (3). В частности, многочлен степени тождественно равный нулю, имеет все коэффициенты, равные нулю. Если точка такова, что

то можно представить в виде

где многочлен степени , и наоборот. Действительно, из (5) следует (6) на основании формулы Тейлора (4); с другой стороны, если верно (6), то помножим все члены разложения по степеням на и сложим; тогда в силу единственности получим тейлорово разложение по степеням удовлетворяющее свойствам (5).

В случае (5), или, что все равно, (6), говорят, что есть корень многочлена кратности k. Можно еще сказать, что есть корень кратности k, если делится на но не делится на

Имеет место основная теорема алгебры, заключающаяся в следующем: многочлен степени имеет по меньшей мере один комплексный корень.

Из этой теоремы легко заключить, что на самом деле имеет и только корней, если учесть их кратность. В самом деле, пусть есть корень степени Кратность его обозначим через Тогда

где степени Если то по той же основной теореме у многочлена найдется корень некоторой кратности и тогда

Если все еще будет иметь положительную степень, то продолжим эти рассуждения. После конечного числа этапов подобных рассуждений мы придем к тому, что имеет (разные) корни соответственно кратностей где и представляется в виде произведения:

Других корней не имеет, потому что в силу (7) для всякого очевидно, Это показывает, что представление в виде произведения (7) единственно.

Остановимся еще на интересной связи между рассматриваемым многочленом и его производной Она заключается в том, что общий наибольший делитель есть многочлен, равный с точностью до постоянного не равного нулю множителя многочлену

Многочлен всегда можно найти эффективно методом алгоритма Евклида, хотя его корни, быть может, так и останутся неизвестными (см. 4-е издание этой книги, § 8).

Отметим, что основная теорема алгебры доказывает только существование корня (вообще, комплексного) у многочлена степени, не давая эффективных методов нахождения его в общем случае. Впрочем, доказательство этой теоремы проводится методами математического анализа, а не алгебры, и если мы не доказываем здесь эту теорему, то потому, что она связана более органически с теорией функций комплексного переменного.

Существуют формулы решения общих уравнений второй, третьей и четвертой степеней. Для уравнений степени таких формул нет. Абель доказал, что они не могут существовать. Это надо понимать в том смысле, что при корни уравнения не выражаются через коэффициенты посредством функций от этих коэффициентов, представляющих собой результат конечного числа операций только следующего вида: сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корня.

Многочлен (см. (1)) называется действительным, если все его коэффициенты действительны. Действительный многочлен, если его рассматривать для действительных есть действительная функция , т.е. принимающая действительные значения.

Важное свойство действительного многочлена выражается в равенстве

верном для любого комплексного Оно устанавливается на основании формул § 8.2, (14) при помощи следующих выкладок, где надо учесть, что (в силу действительности ):

Докажем теорему.

Теорема. Если действительный многочлен имеет комплексный корень кратности k, то он имеет также корень ему сопряженный, той же кратности.

Доказательство. По условию имеем Легко видеть, что если есть действительный многочлен, то и его производная порядка I есть действительный многочлен. Поэтому в силу для любого следовательно,

На основании этой теоремы, принимая во внимание доказанное разложение (см. (7)) многочлена степени на множители, действительный многочлен степени можно представить в виде произведения:

где действительные числа, многочлены имеют комплексные (попарно сопряженные) корни и Отметим, что числа определяются многочленом однозначно.

В самом деле, обратимся к разложению (7). Если среди входящих в него корней имеются действительные, то мы их заново пронумеруем, обозначив через Соответствующие степени биномов обозначим через

Наряду с каждым множителем с комплексным корнем в произведении (7) на основании доказанной теоремы обязательно имеется также множитель вида где . Полагая получим

где действительные числа.

Теперь остается только перенумеровать множители, соответствующие разным попарно сопряженным корням и заменить ими соответствующие множители (7). В результате получим (10).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление