Главная > Математика > Курс математического анализа
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 8.8. Подстановки Эйлера

С помощью этих подстановок интеграл

где рациональная функция от приводится к интегралу от рациональной функции.

Первая подстановка соответствует случаю, когда корни трехчлена а действительны. Она имеет вид

и тогда

Функция так же, как ее производная рациональная функция, поэтому

где — рациональная функция.

Обратный переход от осуществляется по формуле (2). Вторая подстановка. Корни трехчлена комплексные. Тогда надо считать, что иначе трехчлен был бы отрицательным для всех Полагаем

Возводя это равенство в квадрат и заменяя его выражением, получим

отсюда

поэтому

где рациональная функция от Обратная подстановка:

Отметим, что рассматриваемая подстановка годится и тогда, когда корни трехчлена действительны, лишь бы было

Пример 1. Трехчлен имеет комплексные корни:

Делаем вторую подстановку:

В частности, 1)

3) трехчлен имеет комплексные корни (верхний знак здесь и далее соответствует положительным или ; трехчлен может иметь и действительные корни, лишь бы они были различны:

в частности,

5) интегралы приводятся к предыдущим, если ввести новые переменные, соответственно

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление