ВНОВЬ ОБ ИЗОТЕРМИЧЕСКОМ РАСШИРЕНИИ

Сейчас для нас важно свойство натуральных логарифмов, выраженное соотношением (14). Мы можем заменить очень маленькое число х натуральным логарифмом от (1+х) и наоборот. Такая подстановка оказывается очень полезной в выражении (7), которое мы для удобства выпишем здесь еще раз:

Вспомним, что есть очень малое приращение V. Поэтому члены — очень малые числа, и мы можем заменить их логарифмами, согласно (14). Таким образом,

Последний шаг требует некоторого пояснения. Мы получили, что отношение dV/V, которое представляет собой просто очень малое относительное изменение V, равно d(ln V), т. е. очень малому изменению или дифференциалу натурального логарифма V. Подумав, можно понять, что это следует из последнего равенства в (15), которое дает разность натурального логарифма от (V + dV) и натурального логарифма от V% т. е. изменение величины натурального логарифма V при переходе от V к V+dV. Мы обозначили это малое изменение как дифференциал . Подставив вместо каждого из членов dV/V в (7), получим

Таким образом, работу, выполненную идеальным газом, расширяющимся при постоянной температуре, легко подсчитать, взяв натуральный логарифм отношения конечного объема к начальному и умножив его на nRT, где n — число молей газа, R — газовая постоянная и Т — абсолютная температура.

Основной результат этого длинного и несколько запутанного упражнения можно записать в виде

Рис. 4.5. Один из способов осуществления работы с помощью процесса изотермического расширения.

Тот же результат должен быть справедлив для любой другой переменной, например p или Т:

Интегралы такого типа будут встречаться нам в дальнейшем. Полезно запомнить следующее соотношение, где х означает любую переменную:

Закончим это обсуждение вычислением величины работы при изотермическом расширении. Пусть имеется цилиндр с поршнем, погруженный в сосуд с кипящей водой, так что поддерживается температура 373 К. В цилиндре находится 1 моль газа. В начальный момент сила давления газа, приложенная к поршню и направленная вверх, достаточна, чтобы поддерживать на данном уровне поршень и стоящий на нем открытый сосуд с водой (рис. 4.5). По мере испарения воды из сосуда направленная вниз сила тяжести, действующая на поршень и сосуд, будет уменьшаться, и поршень начнет подниматься. Примем, что он поднимается до тех пор, пока объем газа в цилиндре не станет вдвое больше первоначального. Согласно (16), имеем

Заметим, что ответ не зависит от того, каковы фактические значения начального и конечного объемов, а зависит только от их отношения. Та же самая работа будет произведена, если увеличить массу поршня и сосуда настолько, чтобы начальный и конечный объемы уменьшились вдвое при прежнем количестве газа. Давление тогда возросло бы вдвое. Если удвоить начальный объем газа при неизменном его количестве, то при данной температуре он совершит одну и ту же работу независимо от давления. Заметим, что эти утверждения справедливы только для идеального газа, подчиняющегося уравнению состояния pV = nRT. Для других уравнений состояния вычисление основано на тех же принципах, но немного более сложно.

Интересно сравнить величину работы при изотермическом расширении с величиной работы расширения газа при постоянном давлении. Процесс расширения при постоянном давлении можно осуществить, например, если вынуть цилиндр из сосуда с кипящей водой и поставить его на плитку. По мере нагревания газа он будет расширяться. Если сосуд с водой, стоящий на поршне, накрыть крышкой, то масса будет оставаться постоянной, а поршень будет медленно подниматься, по мере того как объем газа будет увеличиваться при постоянном давлении. Из выражения (4) получаем выражение для работы, совершаемой при удвоении объема:

В процессе расширения при постоянном давлении газ совершает почти в 1,5 раза больше работы, чем в процессе при постоянной температуре. Дополнительная работа идет на поднятие воды, которая при изотермическом расширении испарялась.