Главная > Разное > Машины, энергия, энтропия
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ЦИКЛ КАРНО С НОВОЙ ТОЧКИ ЗРЕНИЯ

Теперь можно вновь рассмотреть цикл Карно в свете первого начала и дополнить анализ, начатый в гл. 6. Вспомним, что цикл Карно состоит из следующей последовательности процессов: 1) изотермического (dT = 0) расширения при высокой температуре адиабатического расширения, при котором температура понижается от до изотермического сжатия при и 4) адиабатического сжатия, при котором температура повышается от до Изобразим снова этот цикл на p - V - диаграмме (рис. 8.4). Предположим, что наша система состоит из одного моля идеального газа с уравнением состояния pV = RT.

Цикл начинается из точки а расширением газа вдоль изотермы от а до b. В процессе этого расширения газ находится в контакте с резервуаром который поддерживает его температуру постоянной. Для этого процесса из первого начала (10) интегрированием получаем

Рис. 8.4. Цикл может совершаться в двух направлениях.

Последнее выражение для работы, выполненной газом в процессе изотермического расширения, совпадает с полученным нами в гл. 4. Поскольку температура постоянна, внутренняя энергия не изменяется Поэтому работа газа равна поглощенному количеству теплоты.

Следующий этан цикла — адиабатическое расширение от b до с, в течение которого газ не испытывает никакого теплового взаимодействия и температура его понижается до На этом этапе первое начало дает

Таким образом, работа, совершенная газом в процессе адиабатического расширения, равна произведению молярной теплоемкости при постоянном объеме на изменение температуры Именно эту адиабатическую работу мы не могли вычислить, когда рассматривали цикл Карно в первый раз. Карно сам был в таком же положении, не располагая первым началом.

Следующий этап цикла — изотермическое сжатие от с до d. Результат полностью аналогичен (30):

Заметим, что и теперь представляет собой работу, выполненную системой Но теперь она отрицательна, так как объем системы уменьшается, т. е. среда выполняет работу над системой. Вычисление дает правильные знаки, так как меньше а логарифм числа меньшего единицы, всегда отрицателен.

Заключительный этап цикла — адиабатическое сжатие от d до а. Аналогично (31) можно записать

Работа, выполненная системой, опять отрицательна, так как газ сжимается (т. е. над ним совершается работа) средой. Правая часть выражения (33) отражает это: положительны, поэтому отрицательный знак остается.

Полная работа, выполненная системой за цикл, очевидно, равна сумме работ на каждом шаге:

Из (31) и (33) мы видим, что работы на адиабатических участках равны по величине и противоположны по знаку. Поэтому их сумма равна нулю. Следовательно, результирующая работа равна просто сумме работ на изотермических участках (Теперь мы доказали то, что были вынуждены предположить в гл. 6.) Используя (30), (32) и (34), получаем

Обычно наибольший интерес представляет отношение произведенной работы (которую мы получаем от машины) к количеству теплоты, поглощенному от высокотемпературного нагревателя (которое определяет наши затраты на топливо). Это отношение называют коэффициентом полезного действия (КПД). Из соотношения (30) видно, что количество тепла поглощенное от высокотемпературного резервуара, равно работе изотермического расширения, т. е. Поэтому для КПД имеем формулу

где мы написали вместо чтобы подчеркнуть, что тепло поглощается из резервуара при температуре .

Вернемся к соотношению (22), полученному при анализе адиабатического процесса:

Оно показывает, что отношение начального и конечного объемов идеального газа при адиабатическом расширении определяется только отношением температур.

В рассматриваемом цикле начальные и конечные температуры на обоих адиабатических участках равны либо либо Поэтому

Отсюда получаем

(38)

или

Поэтому, учитывая соотношение и сокращая подобные члены в числителе и знаменателе, окончательно имеем

Эта простая, но знаменитая формула утверждает, что отношение работы, полученной от машины, действующей между высокотемпературным и низкотемпературным резервуарами, к количеству теплоты, поглощенному из высокотемпературного резервуара, равно отношению разности температур резервуаров к температуре высокотемпературного резервуара. (Заметьте, насколько экономна математическая запись. То, что в формуле (40) выражено с помощью 9 знаков, потребовало при словесном выражении длинного предложения из 27 слов.) Хотя окончательное выражение является простым и коротким, его вывод был длинным и, возможно, утомительным. (При желании читатель может принять на веру справедливость выражения (40)) Логика его вывода неоднократно проверялась очень многими людьми, а его следствия много раз подтверждались экспериментально, поэтому не может быть никаких сомнений в том, что это замечательное выражение отражает фундаментальное свойство реального мира. В самом деле, выражение (40) включает нулевое начало (существование температуры) и первое начало (сохранение энергии). То, что оно связано со вторым началом, мы вскоре увидим.

Кроме двух начал термодинамики, наш вывод формулы (40) опирался на некоторые другие важные допущения и ограничения. Мы предположили, что рабочим телом в тепловой машине является идеальный газ, подчиняющийся уравнению состояния pV = RT. (Напомним, что температура в (40) — это температура, которая входит в это уравнение состояния, т. е. температура, измеренная по шкале идеального газового термометра или абсолютной шкале, — температура по Кельвину. Нельзя использовать просто любую температуру и ожидать при этом, что выражение (40) будет иметь смысл.) Мы предположили также, что каждый этап цикла совершается обратимым образом.

Последнее ограничение означает, что отсутствует механическое трение и любой теплообмен происходит при бесконечно малой разности температур, а следовательно, бесконечно медленно. Это означает также, что цикл можно проходить в любом направлении. При движении по часовой стрелке на p — V - диаграмме работа совершается, а тепло поглощается из высокотемпературного резервуара и отдается в низкотемпературный резервуар. При движении против часовой стрелки работа потребляется, а тепло поглощается при низкой температуре и отдается при высокой. Выражение (40) справедливо независимо от направления обхода цикла. Наконец, заметим, что формула (40) выведена для очень частного цикла, состоящего из двух изотермических и двух адиабатических процессов.

Если иметь в виду все эти ограничения и допущения, то может показаться странным, что мы придаем такое значение выражению (40) Но так можно подумать, только забыв о гениальной идее Карно. Карно не мог полностью рассчитать количество суммарной работы, выполненной в его идеальном цикле, но смог показать, как мы видели в гл. 6, что при использовании любого рабочего тела КПД будет одинаков, в противном случае был бы возможен поток теплоты от холодного тела к горячему. Более того, по той же причине никакой другой цикл не может иметь больший КПД, т. е. давать больше работы на единицу количества теплоты, поглощенного при высокой температуре. Короче говоря, выражение (40) представляет максимально возможсный КПД для любой мыслимой машины, которая поглощает теплоту при и отдает ее при .

Запишем это утверждение следующим образом;

Последнее соотношение означает, что КПД любой тепловой машины, действующей между двумя тепловыми резервуарами — высокотемпературным (нагревателем) и низкотемпературным (холодильником), — не может быть больше отношения разности температур резервуаров к температуре горячего резервуара. Последнее утверждение является одной из возможных формулировок второго начала термодинамики. Как мы показали, она эквивалентна утверждению, что теплота не может самопроизвольно переходить от менее нагретого тела к более нагретому. Такое утверждение также является формулировкой второго начала. Впервые она была использована Карно, но в той форме, которую мы привели, ее обычно называют формулировкой Клаузиуса.

Третья эквивалентная формулировка второго начала, известная как формулировка Кельвина — Планка, утверждает, что не существует такого циклического процесса, единственным результатом которого является поглощение теплоты из нагревателя и совершение работы. Это утверждение также было предвосхищено Карно, который пришел к выводу, что для выполнения работы непрерывно действующая машина должна отдавать тепло холодильнику, а не только поглощать его из нагревателя. Итак, можно сказать, что выражение (40) является явной формулировкой второго начала, которая неявно опирается также на нулевое и первое начала. Как мы увидим в следующей главе, достоинство такой формулировки не только в ее краткости.

В заключение этой главы приведем одно полезное видоизменение формулы (40). При ее выводе мы определяли отношение выполненной работы к количеству теплоты, поглощенному от высокотемпературного нагревателя, т. е. величину . Можно также вычислить отношение работы к количеству теплоты, отданному низкотемпературному холодильнику, т. е. . Сделав соответствующие замены и повторив последовательность этапов, начиная с выражения (34), можно получить

К такому соотношению можно было прийти и исходя из соображений симметрии. Благодаря их симметричности выражения (41) и (42) легко запомнить.

Обычно нас интересует отношение работы и величины теплообмена с низкотемпературным резервуаром, когда работа совершается для охлаждения чего-либо, т. е. когда цикл проходится против часовой стрелки и машина используется как холодильник.

В этом случае есть то, что мы «получаем», a W — то, что мы «платим», поэтому выражение (42) часто записывают в перевернутом виде:

Отношение, называется холодильным коэффициентом.

Заметим, что КПД тепловой машины согласно (41), не может быть больше единицы. Можно убедиться в этом, перебрав несколько комбинаций . Поскольку больше знаменатель в правой части должен быть больше числителя.

Коль выбрать инструмент умно — Он даст прохладу иль тепло.

Рис. 8.5. Необратимая утечка теплоты приводит к уменьшению КПД.

Для отношения такого ограничения нет. Перебрав несколько различных комбинаций вы убедитесь, что можно получить любое значение (как много меньше, так и много больше единицы) при соответствующем выборе .

Обратим теперь неравенство (42), учитывая, что при этом необходимо поменять знак неравенства; тогда мы получим следующий результат, который, возможно, покажется вам странным:

Это неравенство справедливо, хотя на первый взгляд оно противоречит выражению (43), так как в нем стоит обратный знак. Различие заключается в том, что неравенства (41) и (44) выполняются для тепловой машины, которая проходит цикл по часовой стрелке на p - V - диаграмме, поглощает тепло при и отдает его при Неравенство (43) записано для холодильной машины, которая проходит цикл против часовой стрелки на р—V-диаграмме, поглощает тепло при и отдает его при .

С помощью соображений такого типа, какие использовал Карно для доказательства максимальности КПД, легко показать, почему неравенство (44) справедливо для тепловой машины, а (43) — для холодильной машины. В случае тепловой машины любое количество теплоты, передающееся непосредственно от и не проходящее через машину (тепловой поток к холодному резервуару), будет увеличивать без изменения W. Поэтому отношение будет меньше своего максимального теоретического значения Таким образом, будет больше, чем . В холодильной машине любые естественные дополнительные вклады в (утечка от ) будут уменьшать полезную передачу тепла от Поэтому будет меньше своего максимально возможного значения Рассмотренная ситуация представлена на рис. 8.5. Ширина изображенных каналов соответствует относительной величине тепловых потоков.

Это рассуждение может показаться громоздким и неуклюжим. Но если проделать некоторые простые выкладки, легко убедиться, что последовательность аргументов очень проста и логична и в то же время сохраняет строгость. Многие, однако, считают, что при формулировке фундаментальных физических законов следует использовать более изящные приемы, не прибегая к таким искусственным конструкциям, как работающие без трения тепловые и холодильные машины. Такие люди предпочитают математические построения, которые, возможно, более изящны, но гораздо дальше отстоят от нашего повседневного опыта. Чарли вообще не понравились бы такие приемы. Тем не менее рассмотрим некоторые из таких построений в двух последних главах.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление