Главная > Физика > Курс статистической физики (Ноздрев В.Ф.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Свойства канонического распределения

Рассмотрим некоторые свойства и следствия канонического распределения. Для этого представим, от каких величин зависят его параметры. Понятно, что

где интегрирование производится по всему фазовому ансамблю, т. е. по различным микросистемам; полная механическая энергия одной системы из ансамбля и зависит от ее координат в фазовом пространстве и внешних параметров постоянная, называемая модулем распределения одинаковая для всех систем ансамбля; постоянная, которая определяется из условия нормировки и зависит от внешних параметров а и модуля распределения т. е. одинакова для всех систем ансамбля; это внутренних параметров для каждой системы; обозначает всю область изменения внутренних параметров, т. е. все фазовое пространство.

Между параметрами канонического распределения имеет место ряд соотношений. Чтобы получить их, продифференцируем равенство (6.4) по а. Внося производную по а под знак интеграла по получим соотношения:

Откуда согласно определению среднего (2.20) имеем:

Производная от механической энергии системы по внешнему параметру будет обобщенной силой с обратным знаком:

Следовательно,

Таким образом, мы получили выражение средней (термодинамической) обобщенной силы через параметры канонического распределения.

Далее, дифференцируя равенство (6.4) по , получим:

Откуда, учитывая, что и не зависят от следует

Но средняя энергия системы как раз равна внутренней термодинамической энергии Поэтому

Аналогично можно получить некоторые соотношения между произвольными средними величинами, вычислен ными с помощью канонического распределения, и параметрами этого распределения.

Любая средняя величина при каноническом распределении определяется как средняя по фазовому ансамблю, т. е. по формуле

Интеграл берется по всему фазовому пространству. Например, внутренняя энергия системы будет равна

усредненной по ансамблю механической энергии отдельных систем. Другими словами,

Внутренняя энергия будет зависеть от и т. е.

Для любой физической величины определяемой по формуле (6.9), имеет место соотношение:

где чертой обозначено среднее по фазовому ансамблю. Действительно,

и, заменяя по формуле (6.7), получим:

Таким образом,

С другой стороны (см. упр. № 5, гл. II),

Значит (6.12) эквивалентно (6.11).

Получим еще одно соотношение, для чего вычислим выражение

Согласно (6.5) имеем:

или согласно (6.13) получаем,

Полученные важные соотношения (6.5), (6.7), (6.12) и (6.15) будут использованы при дальнейшем изложении курса.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление