Главная > Математика > Основания математики (математическая логика)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Одно доказательство невозможности.

В качестве примера, показывающего, что в рамках наглядной арифметики можно

проводить и доказательства невозможности, рассмотрим следующее утверждение, выражающее иррациональность числа : не может существовать двух цифр таких, что

Доказательство этого утверждения, как известно, может быть проведено следующим способом. Сначала мы показываем, что всякая цифра либо делится на 2, либо представляется в виде Отсюда следует, что лишь тогда может делиться на 2, когда на 2 делится само а.

Пусть теперь задана пара чисел таких, что выполняется приведенное выше равенство. Тогда мы можем просмотреть все числовые пары такие, что

и выяснить, выполняется ли для них равенство

Среди пар, удовлетворяющих этому равенству, мы берем такую, у которой имеет наименьшее значение. Такая пара может существовать только одна; пусть это будет пара Согласно сделанному ранее замечанию, из равенства

следует, что делится на 2:

Таким образом, мы получаем

Отсюда следует, что пара чисел удовлетворяет нашему равенству и одновременно Однако это противоречит выбору

Только что доказанной теореме можно, конечно, придать следующий положительный вид: если две произвольные цифры, то отлично от

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление