Главная > Математика > Основания математики (математическая логика)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Нефинитные методы в анализе

1. Различные определения действительного числа.

Иначе обстоит дело в анализе (исчислении бесконечно малых); здесь нефинитные способы образования понятий и нефинитные доказательства являются неотъемлемой частью методов теории.

Напомним вкратце основное понятие анализа, понятие действительного числа. Действительное число обычно определяется либо как монотонно возрастающая последовательность рациональных чисел

имеющая верхнюю границу (фундаментальная последовательность), либо как бесконечная десятичная или двоичная дробь, либо как разбиение рациональных чисел на два класса, при котором всякое число из первого класса меньше любого числа из второго класса (дедекиндово сечение).

При этом в основу кладется представление о том, что рациональные числа образуют некоторую фиксированную совокупность, которая может быть рассматриваема как индивидная область. Совокупность всевозможных последовательностей рациональных чисел, соответственно всевозможных разбиений всех рациональных чисел, в анализе также мыслится как индивидная область.

Конечно, вместо совокупности рациональных чисел в основу рассмотрения достаточно будет положить совокупность целых чисел, а вместо разбиений всех рациональных чисел говорить о разбиениях целых чисел. Действительно, всякое положительное рациональное число может быть задано парой чисел а всякое рациональное число может быть представлено в виде разности двух положительных рациональных чисел, т. е. в виде пары числовых пар Точно так же и любая двоичная дробь вида

где каждое из чисел равно либо 0, либо 1, может трактоваться как разбиение всех целых чисел, а именно как разбиение их на те числа к, для которых и на те, для которых

Всякому разбиению положительных целых чисел указанным образом взаимно однозначно соответствует двоичная дробь упомянутого вида. С другой стороны, всякое действительное число может быть представлено в виде суммы целого числа и некоторой двоичной дроби этого вида.

Вместо разбиений целых чисел мы можем рассматривать их множества; действительно, всякое множество целых чисел определяет разбиение их на те числа, которые принадлежат рассматриваемому множеству, и на те, которые ему не принадлежат, наоборот, само это множество вполне однозначно определяется упомянутым разбиением. Сказанное выше справедливо и в отношении дедекиндовых сечений, каждое из которых может быть представлено некоторым множеством рациональных чисел (например, своим нижним классом, который характеризуется следующими свойствами: 1) он содержит по крайней мере одно рациональное число и по крайней мере одно из них не содержит; 2) вместе со всяким рациональным числом он содержит все меньшие рациональные числа, а также по крайней мере одно большее).

Однако экзистенциальное допущение, которое мы вынуждены положить в основу анализа, ослабляется этими изменениями лишь в незначительной степени. По-прежнему остается потребность рассматривать и многообразие целых чисел, и многообразие множеств целых чисел как фиксированные индивидные области, для которых имеет место «tertium поп datur». Лишь со ссылкой на эти области и становится осмысленным (в качестве частичного суждения) высказывание о существовании целого числа, соответственно множества чисел, со свойством (5, независимо от того, является ли оно (это высказывание) понятным. Таким образом, хотя понятия бесконечно большого и бесконечно малого теорией действительных чисел в собственном смысле слова из рассмотрения и исключаются, оставаясь лишь в качестве способа выражаться, понятие бесконечного все-таки продолжает сохраняться в виде бесконечной совокупности. Пожалуй, даже можно сказать, что представление о бесконечных совокупностях было введено и впервые систематически применено на деле только здесь, в процессе строгого построения анализа.

Чтобы убедиться, что при построении анализа действительно по существу используется предположение, что область целых чисел, рациональных чисел, а также область множеств (разбиений) этих чисел представляют собой некие единые совокупности, достаточно будет проанализировать некоторые из фундаментальных понятий способов рассуждений.

Если действительное число определяется нами как возрастающая последовательность рациональных чисел

то нефинитным оказывается уже понятие равенства действительных чисел. В самом деле, определяют две такие последовательности одно и то же действительное число — это зависит от того, имеется ли для каждого числа из первой последовательности большее число во второй последовательности и наоборот. Мы, однако, не располагаем общим методом для решения этого вопроса.

С другой стороны, если исходить из определения действительных чисел при помощи дедекиндовых сечений, то нужно будет доказать, что каждая ограниченная возрастающая последовательность рациональных чисел производит некоторое сечение, которое представляет собой верхнюю грань этой последовательности. Это сечение получается разбиением всех рациональных чисел на числл. которые мажорируются хотя бы одним из членов последовательности, и на те, которые этим свойством не обладают. Иначе говоря, рациональное число причисляется к первому пли ко второму классу сечения в зависимости от того, имеется среди чисел последовательности число, большее или же все числа последовательности не превосходят Различение этих случаев снова оказывается нефинитным.

Сходным образом обстоит дело в том случае, когда действительные числа определяются при помощи бесконечных десятичных пли двоичных дробей. Снова нужно будет доказать, что всякая ограниченная последовательность рациональных чисел

определяет десятичную (соответственно двоичную) дробь. Простоты ради предположим, что речь идет о последовательности положительных правильных дробей

и что надо определить двоичную дробь

так, чтобы она представляла собой верхнюю грань этой последовательности. Эта дробь определяется следующим образом:

Во всех рассмотренных случаях прпходнтся иметь дело с альтернативами, в которых речь идет о том, что либо все

рациональные числа некоторой заданной последовательности

удовлетворяют определенному условию, либо что это условие не выполняется хотя бы для одного из них. Всякая такая альтернатива использует «tertium non datur» для целых чисел; в самом деле, при этом предполагается, что либо для всех целых рациональные числа удовлетворяют соответствующему неравенству, либо что имеется такое целое что этому неравенству не удовлетворяет.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление