Главная > Математика > Основания математики (математическая логика)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Примеры заменимости.

Приведем несколько примеров применения этих правил.

Согласно правилу 4а), заменимо посредством . Возьмем в качестве переменную а в качестве выражение В С. Тогда получится, что

В последнем выражении можно [по правилу 4а) и заменить посредством , так что в результате преобразования выражения

мы получим

и, вследствие ассоциативности дизъюнкции [правило 16)],

Мы можем здесь выделить и вместо него [правило подставить Тогда мы получим

а вместо этого можно [правпло 4а)] написать

Значит, и это последнее выражение тоже заменимо посредством

Далее, так как заменимо посредством [правило ], то отсюда следует, что

Рассмотрим теперь выражение, получающееся в результате другой расстановки скобок:

если здесь исключить [по правилу 4а)] обе импликации, то получится выражение

В нем можно заменить посредством {правило 26)1 и, далее, посредством [правило 2а)], так что получится

вместо этого выражения по дистрибутивному закону [правило 1в)] можно написать

значит, выражение заменимо этим выражением. Тем же самым преобразованием мы из

получим выражение

и, вследствие коммутативности дизъюнкции шравило 16)], —

Здесь, по правилу сокращения 3а), можно отбросить второй конъюнктивный член, так что в результате преобразования выражения получится А и В. Таким образом, мы установили, что дизъюнкция может быть выражена через одну только импликацию.

Рассмотрим отрицание импликации:

Отсюда мы сначала получаем [по правилу 4а)]

а затем [по правилу 26)]

и так как " заменимо посредством А [правило 2а)], то в итоге получается

Теперь заметим, что заменимо посредством [правило 2а)], а следовательно, и посредством

Это дает представление импликации через конъюнкцию и отрицание.

Эквивалентность мы с самого начала представили следующими двумя способами:

и

Отсюда на основании коммутативности конъюнкции [правило 16)] можно заключить о заменимости посредством Возьмем отрицание выражения Тогда

правилу нас получится

Как только что было установлено, здесь можно заменить

так что в целом получится

Это составное высказывание представляет собой разделительное «или». В самом деле, оно истинно тогда и только тогда, когда один из аргументов принимает значение «истина», а второй — «ложь». Очевидно, что эта истинностная функция, подобно конъюнкции, дизъюнкции и эквивалентности, симметрична относительно

Так как заменимо также посредством [вследствие коммутативности конъюнкции [правило 1б)] и по правилу 2а)], то мы получаем, что разделительное «или» может быть представлено также и в виде

а это выражение в свою очередь на основании представления для эквивалентности можно заменить посредством

Тем самым мы установили, что отрицание эквивалентности заменимо посредством разделительного «или», а также посредством

а потому (на основании симметричности эквивалентности) оно заменимо и посредством

Таким образом, первое и четвертое из следующих четырех выражений:

представляют собой эквивалентность, а второе и третье — разделительное «или».

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление