Главная > Математика > Основания математики (математическая логика)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Метод построения модели.

Теперь вернемся к нашему вопросу о непротиворечивости какой-либо системы аксиом. Как в рассмотренном выше примере, будем представлять себе эту систему записанной в символическом виде посредством одной-единственной формулы.

Тогда вопрос о выполнимости этой формулы для заданной конечной индивидной области может быть решен при помощи перебора — по крайней мере в принципе. Предположим теперь, что нам удалось установить выполнимость этой формулы в какой-нибудь конечной области индивидов; тогда мы тем самым получаем и доказательство непротиворечивости этой системы аксиом, причем доказательство, сопровождаемое построением модели, с указанием конечной индивидной области вместе с набором пробегов значений предикатов, выполняющих эту формулу. Эта область в сочетании с предикатами образует модель, на которой можно конкретным образом убедиться в выполнимости рассматриваемой аксиомы.

Рассмотрим пример такого построения применительно к аксиоматике геометрии. Будем исходить из первоначально зафиксированной системы аксиом. Аксиому I 4), которая утверждает существование трех точек, не лежащих на одной прямой, мы заменим более слабой аксиомой

(существуют две различные точки).

Далее, мы опустим аксиому плоского порядка II 5), но зато включим в число аксиом два предложения которые могут быть доказаны с помощью II 5): во-первых, расширим II 4) до

и, во-вторых, добавим

Аксиому о параллельных мы сохраним. Получившуюся в результате этих изменений систему аксиом — вместо первоначальной формулы ей теперь соответствует некоторая новая формула можно, как показал О. Веблен, выполнить в индивидной области, состоящей из пяти элементов. Пробег значений для предикатов (здесь мояшо снова, не опасаясь недоразумений, употребить обозначения мы построим следующим образом. Прежде всего, предикат определим так, чтобы он был истинным для любой тройки значений Тогда, как легко видеть, выполнятся все аксиомы группы I, а также II 1) и III. Для того чтобы оказались выполненными аксиомы II 2), 3), 4) и 5), на предикат необходимо, а также и достаточно, наложить следующие три условия:

1. Для тройки х, у, z с двумя совпадающими элементами всегда принимает значение «ложь».

2. Рассмотрим какой-либо набор из трех различных индивидов, входящих в число наших пяти. Требуется, чтобы среди шести различных упорядочений этого набора на двух упорядочениях с общим первым элементом принимал значение «истина», а на остальных четырех — «ложь».

3. Каждая пара различных индивидов является как началом, так и концом у одной из тех троек, для которых принимает значение «истина».

Первому требованию можно удовлетворить путем прямого задания значений на соответствующих тройках индивидов. Двум остальным требованиям можно удовлетворить следующим образом. Обозначим рассматриваемые пять элементов цифрами 1, 2, 3, 4, 5. Количество индивидных троек, состоящих из трех различных элементов, для которых мы еще должны будем доопределить предикат равно Каждый набор, состоящий из трех элементов, дает нам шесть таких троек; для двух из них предикат должен быть истинным, для остальных — ложным. Таким образом, из шестидесяти троек мы должны указать двадцать, для которых должен оказаться истинным. Это будут те тройки, которые получаются из следующих четырех:

в результате применения к ним циклической подстановки

Легко убедиться, что этим подбором мы удовлетворили всем сформулированным выше требованиям. Построенная таким образом модель доказывает непротиворечивость рассмотренной нами системы аксиом

Продемонстрированный на этом примере метод построения модели находит весьма многочисленные применения в новейших аксиоматических исследованиях. Прежде всего он используется для проведения различных доказательств независимости. Утверждение о независимости какого-либо предложения (а от системы аксиом равносильно утверждению о непротиворечивости системы аксиом

которую мы получим, добавив к в качестве новой аксиомы отрицание предложения Если эта система аксиом выполнима в конечной индивидной области, то доказательство ее непротиворечивости может быть проведено уже упоминавшимся методом построения модели. Тем самым во многих исследованиях принципиального характера рассматриваемый метод оказывается хорошим дополнением к методу логического вывода, поскольку путем построения вывода мы можем устанавливать доказуемость разного рода предложений при принятии тех или иных аксиом, а путем построения соответствующих моделей — их недоказуемость.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление