Главная > Математика > Основания математики (математическая логика)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Дедуктивное сведение этих эквивалентностей к пяти добавляемым к этой системе аксиом формулам; система (А).

Прежде всего заметим, что эквивалентности выводятся из наших прежних аксиом. Именно, мы можем получить из аксиом равенства, из формулы и аксиом равенства, из аксиом равенства и аксиом

Если мы разложим эквивалентности ((1)), ((2)) и ((7)), согласно схеме эквивалентности, на импликации, то две импликации

и

будут выводимы из аксиом и из второй аксиомы равенства. Из оставшихся теперь от формул четырех импликаций

четвертая может быть выведена из второй и третьей с привлечением аксиом равенства и формул Далее, вторая импликация получается из первой путем элементарных преобразований.

Таким образом, для вывода эквивалентностей к нашим аксиомам достаточно будет присоединить две формулы

Теперь рассмотрим эквивалентности Прежде всего, каждая из них легко может быть сведена (средствами исчисления предикатов) к следующим двум формулам:

Первая из этих формул в том случае, когда количество штрихов равно 0, дедуктивно равна формуле

С другой стороны, из этой формулы для любого числа штрихов может быть получена формула

Действительно, из формулы

с применением формулы

и вновь присоединенной формулы

может быть выведена формула

из которой без труда с помощью второй аксиомы равенства получается искомая формула. Формула

в том случае, когда число штрихов равно 0, записывается в виде

В этом случае она может быть выведена уже из формулы

В том случае, когда число штрихов равно 1, она имеет вид

Если мы присоединим эту формулу к числу наших аксиом, то сможем шаг за шагом получить нее дальнейшие формулы (с большим числом штрихов Действительно, пусть формула

оказалась уже выведенной. Тогда формулу

мы получим следующим образом: во-первых, из получим

из этой формулы в сочетании с вновь присоединенной формулой

и второй аксиомой равенства получим

а отсюда с использованием формулы

которая выводима из вновь добавленных аксиом, мы получим формулу

С другой стороны, из формулы

которую мы предполагаем выведенной, мы получим формулу

а отсюда, с помощью аксиом равенства, получим формулу

из которой далее получится формула

Эта последняя вместе с упомянутой выше формулой

и дает нам искомую формулу

Таким образом, если к уже ранее добавленным аксиомам мы присоединим формулы

и

то формулы ((8)) будут выводимыми при всех t.

Из каждой формулы применением аксиом равенства мы получим соответствующую формулу

Осталось рассмотреть эквивалентности ((10)). С помощью формулы

или получающейся из нее дизъюнкции

в которой вместо надо подставить каждую пару переменных и каждую пару переменных эти эквивалентности путем повторного применения схемы дизъюнкции, а также формул можно свести к более простым эквивалентностям

Каждую из этих эквивалентностей мы разложим на две импликации:

и

Вывод первой из этих двух формул использованием дизъюнкции

можно свести к выводу двух формул:

и

первая из которых может быть получена с использованием формул и второй аксиомы равенства, а вторая — с использованием уже выведенной нами формулы

вместе со второй аксиомой равенства и формулой Вторая формула

может быть преобразована в конъюнкцию двух формул:

и

Одна из них получается из формулы

с помощью аксиомы и второй аксиомы равенства, а вторая — из формулы

которая дедуктивно равна этой формуле, когда число штрихов равно нулю, т. е. формуле

Таким образом, в результате присоединения к аксиомам формулы

формулы ((10)) становятся выводимыми.

Итог проведенного нами обсуждения состоит в том, что для вывода эквивалентностей к нашим аксиомам достаточно добавить следующие формулы:

Полученная таким образом система аксиом допускает дальнейшие существенные упрощения.

Прежде всего, формулы оказываются теперь излишними. Именно, из второй аксиомы равенства и из формулы мы получаем формулы

(это уже было неоднократно использовано в предшествующих выводах); из них и из формул

получается

а отсюда

Кроме того, формула

в сочетании с дает формулу

которая вместе с

позволяет нам получить формулу

Затем формула

может быть выведена из и из формулы

которые в результате подстановки дают формулы

и

Формулу мы также можем вывести из формул и

Таким образом, из списка наших аксиом мы можем вычеркнуть четыре формулы, так что в нем останутся только следующие формулы:

Эту систему формул можно подвергнуть дальнейшим упрощениям. Именно, формула

с учетом выводимых из формул

и формулы

дедуктивно равна более простой формуле

Кроме того, рассмотрим формулу

Из нее подстановками можно получить формулу

а отсюда с использованием формулы

получается формула

И обратно, из последней формулы можно получить формулу

В самом деле, формула

в сочетании с выводимой из

формулой

дает

Подставив в нее с вместо и используя формулы мы получим формулу

Таким образом, эта формула может быть заменена более простой формулой

Далее, формула

с помощью остальных наших формул переводима в

В самом деле, формула

переводима в формулу

Таким образом, нам достаточно будет установить, что формула

переводима в формулу

т. е. что выводимы две импликации:

и

В самом деле, первая и в этих двух формул получается с использованием формул

а вторая — с использованием формул

Наконец, формула может быть выведена из формул и

Действительно, из последней формулы подстановкой и контрапозицией получается

Таким образом, мы пришли к следующей системе аксиом, состоящей из семи формул:

Позже мы покажем, что эти аксиомы независимы друг от друга.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление