Главная > Разное > Теория и применение цифровой обработки сигналов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.12. Примеры фильтров нижних частот с различными окнами

В данном разделе приводится практический пример использования окон для расчета идеального фильтра нижних частот. Будут рассмотрены три окна: прямоугольное, Хэмминга и Кайзера. На фиг. 3.11—3.16 изображены графики этих трех окон и их частотные характеристики для случая  (параметр  для  окна Кайзера равен 5,658). На фиг. 3.11, 3.13 и 3.15 представлены импульсные характеристики, а на фиг. 3.12, 3.14 и 3.16 — частотные характеристики. На фиг. 3.12 видно, что в соответствии с изложенным выше максимальный уровень боковых лепестков частотной характеристики равен для прямоугольного окна 0,217 (или —13,27 дБ в логарифмическом масштабе), а максимумы боковых лепестков медленно понижаются до уровня 0,004 (или до —48 дБ) на частоте, равной половине частоты дискретизации. Для сравнения, как видно из фиг. 3.14, максимальный уровень боковых лепестков частотной характеристики окна Хэмминга равен 0,0074 (или —42,7 дБ), а огибающая максимумов боковых лепестков падает до уровня около 0,000059 (или —65 дБ) на частоте, равной половине частоты дискретизации. Однако ширина главного лепестка частотной характеристики окна Хэмминга вдвое больше ширины главного лепестка частотной характеристики прямоугольного окна. Таким образом, при аппроксимации разрывов частотной характеристики идеального фильтра (как показано ниже на примере фильтра нижних частот) с использованием окна Хэмминга ширина переходной полосы у точки разрыва будет вдвое больше, чем для прямоугольного окна. Для окна Кайзера (фиг. 3.16) уровень наибольшего бокового лепестка составляет 0,00133 (или —57 дБ), а огибающая максимумов боковых лепестков падает до уровня около 0,00002 (или до —94 дБ) на частоте, вдвое меньшей частоты дискретизации. Однако такой низкий уровень боковых лепестков достигается за счет расширения главного лепестка частотной характеристики этого окна почти в три pазaпо сравнению со случаем прямоугольного окна.

Фиг. 3.11. 257-точечное прямоугольное окно.

На последующих нескольких рисунках изображены характеристики фильтров нижних частот, рассчитанных с использованием каждого из трех описанных окон.

Фиг. 3.12. Частотная характеристика 257-точечного прямоугольного окна.

Фиг. 3.13. 257-точечное окно Хэмминга.

Фиг 3.14. Частотная характеристика 257-точечного окна Хэмминга.

Фиг. 3.15. 257-точечное окно Кайзера.

Фиг. 3.16. Частотная характеристика окна Кайзера.

На фиг. 3.17, 3.19 и 3.21 показаны результирующие импульсные и переходные характеристики, а на фиг. 3.18, 3.20 и 3.22 — полученные частотные характеристики фильтра. Проектируемый идеальный фильтр нижних частот имеет коэффициенты ряда Фурье (т. е. отсчеты импульсной характеристики) вида

                   (3.55)

(во всех трех примерах ). На фиг. 3.17 представлен результат умножения  на прямоугольное окно. Видно, что характерный вид импульсной характеристики фильтра (3.55) сохранился. Использование окон Хэмминга и Кайзера (фиг. 3.19 и 3.21) приводит к ослаблению далеко отстоящих членов . На фиг. 3.18 показана частотная характеристика фильтра нижних частот для случая прямоугольного окна. Отчетливо наблюдается эффект Гиббса, причем максимум первого бокового лепестка равен 0,09 (или —21 дБ). Переходная полоса имеет ширину  () и является в данном случае очень узкой. Однако из-за больших пульсаций, связанных с явлением Гиббса, для многих приложений этот фильтр непригоден.

Фиг. 3.17. Импульсная и переходная характеристики фильтра нижних частот с прямоугольным окном.

На фиг. 3.20 показана частотная характеристика фильтра нижних частот с окном Хэмминга. Для этого фильтра максимум амплитуды пульсаций в полосе пропускания составляет около 0,0018, а в полосе непропускания — 0,002 (или —53,6 дБ). Ширина переходной полосы равна , т. е. она более чем в три раза больше ширины переходной полосы для прямоугольного окна. Наконец, для фильтра нижних частот с окном Кайзера (фиг, 3.22) максимум амплитуды пульсаций в полосах пропускания и непропускания составляет 0,0001, или — 80 дБ (для обеих полос), а ширина переходной полосы равна .

Фиг. 3.18. Частотная характеристика фильтра нижних частот с прямоугольным окном.

Приведенные примеры показывают, что для улучшения аппроксимации идеального фильтра нижних частот приходится увеличивать ширину переходной полосы с тем, чтобы уменьшить максимальное значение ошибки аппроксимации (пульсаций). Для окна Кайзера, как уже было сказано выше, параметр  позволяет разработчику находить компромиссное решение для ширины переходной полосы  и максимального уровня пульсаций. В табл. 3.1 для нескольких  даны результирующие значения  и пульсаций в полосах пропускания и непропускания (в дБ). Данные получены путем идеального интегрирования непрерывного окна Кайзера и при больших  являются достаточно хорошим приближением к дискретному случаю.

Фиг. 3.19. Импульсная и переходная характеристики фильтра нижних частот с окном Хэмминга.

 

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление