Главная > Разное > Теория и применение цифровой обработки сигналов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.26. Аппроксимация по Чебышеву со взвешиванием

В разд. 3.5 было показано, что частотная характеристика фильтров четырех различных видов с линейной фазой может быть записана в виде

      (3.103)

Значения  и выражения для  для каждого из четырех видов фильтров приведены в табл. 3.2.

Используя простые тригонометрические тождества, каждое выражение для  из табл. 3.2 можно записать в виде произведения фиксированной функции  [обозначим ее через ] и члена, представляющего собой сумму косинусов [обозначим его через ]. В результате выражения для  из табл. 3.2 принимают вид

Фильтр вида 1

Без изменений.

Фильтр вида 2

  (3.104a)

Фильтр вида 3

           (3.104б)

Фильтр вида 4

           (3.104в)

В табл. 3.3 приведены результирующие выражения для функций  и  для каждого из четырех видов фильтров, в которых . Для фильтров вида 2, 3 и 4 принято, что  должно быть равно нулю при  или при ; (либо на обеих частотах).

Чтобы показать, как задачу расчета оптимального КИХ-фильтра с линейной фазой сформулировать в виде задачи чебышевской аппроксимации, необходимо ввести заданную (действительную) частотную характеристику фильтра  и весовую функцию ошибки аппроксимации , что позволяет разработчику выбирать различную величину ошибки для разных частотных полос. Взвешенная ошибка аппроксимации  по определению равна

     (3.105)

Записав  в виде произведения  и , представим  как

      (3.106)

Поскольку  является вполне определенной функцией частоты, ее можно вынести за скобки, что дает

            (3.107)

Формула (3.107) справедлива во всех точках, за исключением, возможно, точки  и (или) точки . Определив функции  и  как

   (3.108)

              (3.109)

выражение для функции ошибки можно записать в виде

        (3.110)

Теперь задачу чебышевской аппроксимации можно сформулировать как задачу поиска таких коэффициентов , ,  или , которые минимизируют максимум модуля ошибки  в тех частотных полосах, где выполняется аппроксимация. Используя символ  для обозначения минимальной ошибки [т. е. нормы  в пространстве ], задачу чебышевской аппроксимации математически можно сформулировать следующим образом:

           (3.111)

где  — совокупность всех интересующих нас частотных полос.

Для получения решения уравнения (3.111) можно использовать хорошо известное свойство этого класса задач чебышевской аппроксимации, описываемое следующей обобщенной теоремой Чебышева.

Теорема. Если  представляет собой линейную комбинацию из  косинусных функций, т. е.

то необходимое и достаточное условие того, что  является единственной и наилучшей аппроксимацией со взвешиванием непрерывной функции  в компактной подобласти из области , состоит в том, что взвешенная функция ошибки  имеет по крайней мере  экстремальных частот в подобласти , т. е. в этой подобласти должно существовать  точек , таких, что и ,  и

Сформулированная выше обобщенная теорема Чебышева чрезвычайно важна, поскольку дает необходимые и достаточные условия для получения решения, оптимального в чебышевском смысле. В настоящее время на основе той или иной интерпретации этой теоремы разработан ряд методов получения оптимального решения. В последующих разделах будет описано несколько методов оптимизации с тем, чтобы проследить за развитием этих методов и в то же время лучше понять природу оптимального фильтра. Прежде чем перейти к конкретным алгоритмам расчета оптимальных фильтров, рассмотрим сначала важный вопрос о максимальном числе экстремумов частотной характеристики КИХ-фильтра с линейной фазой.

 

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление