Главная > Разное > Теория и применение цифровой обработки сигналов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.32. Характеристики оптимальных фильтров нижних частот вида 1

При проектировании оптимального фильтра нижних частот необходимо задать величину , частоту среза полосы пропускания , частоту среза полосы непропускания  и отношение уровней пульсаций  , описывающее заданную весовую функцию

       (3.128)

Здесь  и  — амплитуды пульсаций в полосе пропускания и непропускания соответственно. На фиг. 3.47 показана частотная

характеристика фильтра нижних частот вида 1. Вспомогательный параметр  задается формулой

                  (3.129)

и служит мерой ширины переходной полосы фильтра. На фиг. 3.48 и 3.49 изображены временные и частотная характеристики фильтра нижних частот вида 1 с = 99, = 0,0808, = 0,1111 и = 1,0. Результирующие значения  и  равны 0,001724 в обеих полосах.

Ранее было показано, что кривая ошибки оптимального фильтра нижних частот может иметь либо , либо  экстремумов, где  для фильтра вида 1 и  для фильтра вида 2. Чтобы выяснить, при каких условиях число экстремумов оптимального фильтра достигает максимума, важно понять сущность этого фильтра. Экспериментально установлено, что достаточно простым и информативным способом описания поведения оптимального фильтра является график зависимости ширины переходной полосы фильтра  от частоты среза полосы пропускания  при фиксированных значениях ,  и . Подобный график для фильтра вида =11 и == 0,1 изображен на фиг. 3.50. Видно, что кривая зависимости  от  имеет колебательный характер с чередующимися острыми минимумами и пологими максимумами. Оказалось, что минимумы кривой (с метками от  до ) соответствуют фильтрам с максимумом пульсаций (с дополнительной пульсацией) при заданных ,  и .

Фиг. 3.47. Частотная характеристика оптимального фильтра нижних частот с минимаксной ошибкой.

Напомним, что кривые ошибок фильтров с дополнительной пульсацией имеют  экстремумов равной амплитуды. Для фиксированных значений  и  существует ровно  таких фильтров с дополнительной пульсацией. Оказалось, что в промежутках между решениями, соответствующими дополнительной пульсации, существуют решения, соответствующие оптимальным фильтрам двух типов: масштабируемым фильтрам

Фиг. 3.48. Импульсная и переходная характеристики фильтра нижних частот с минимаксной ошибкой.

Фиг. 3.49. Частотная характеристика оптимального фильтра нижних частот с минимаксной ошибкой.

Фиг. 3.50. Зависимость ширины переходной полосы оптимального фильтра нижних частот от частоты среза полосы пропускания.

с дополнительной пульсацией и фильтрам, кривые ошибок которых имеют точно  экстремумов равной амплитуды.

Кривые ошибок масштабируемых фильтров с дополнительной пульсацией (им соответствуют жирные линии на фиг. 3.50) имеют  экстремумов равной амплитуды, а также один экстремум меньшей амплитуды при =0 или = 0,5. Эти фильтры можно получить из смежного фильтра с дополнительной пульсацией с помощью простого масштабирования, иллюстрируемого фиг. 3.51. Наверху слева показана частотная характеристика фильтра с дополнительной пульсацией, кривая ошибки которого имеет  экстремумов. Частотная характеристика имеет вид тригонометрического полинома в функции частоты . Применяя преобразование , получим частотную характеристику в виде обычного полинома по , показанную на фиг. 3.51 наверху справа. Далее можно использовать простое изменение масштаба  типа , при котором точка  отображается в точку , а  отображается в точку . Выбираемое значение  лежит между  и предшествующим экстремумом.

Фиг. 3.51. Операция масштабирования для оптимальных фильтров нижних частот.

При этом результирующий полином  (см. кривую на фиг. 3.51 справа внизу) имеет  экстремумов равной амплитуды, тогда как при  величина ошибки будет меньше, чем в других экстремумах. Применяя обратное преобразование , получим частотную характеристику (см. на фиг. 3.51 слева внизу), соответствующую масштабируемому фильтру с дополнительной пульсацией, который имеет  экстремумов равной амплитуды и меньший экстремум при = 0. Поскольку оптимальный фильтр должен иметь не менее  экстремумов равной амплитуды, масштабирование можно использовать только до тех пор, пока предпоследний масштабируемый экстремум не окажется в точке . Масштабирование за этим пределом приводит к неоптимальному фильтру.

Кривые ошибок всех оптимальных фильтров, для которых решения располагаются между решениями для масштабируемых фильтров с дополнительной пульсацией, имеют точно  экстремумов равной амплитуды.

Фиг. 3.52. «Невидимая» пульсация.

Объяснить их наличие с помощью какой-либо простой операции масштабирования не удалось. Однако, используя обычный полином по , можно объяснить особенности этих фильтров, меняя положение и амплитуду «невидимой» пульсации за пределами диапазона . Как показано на фиг. 3.52, при возрастании  положение невидимой пульсации стремится к , а амплитуда — к  . Конечное положение и амплитуда невидимой пульсации соответствуют  — точке, где -точечный фильтр эквивалентен -точечному фильтру с дополнительной пульсацией, поскольку все его пульсации находятся в диапазоне . Этот эффект иллюстрируется на фиг. 3.53, где показаны кривые зависимости ширины переходной полосы от частоты среза полосы пропускания для = 9 и 11 при . Каждому решению для фильтра с дополнительной пульсацией при = 9 соответствует, как и было предсказано выше, решение для фильтра без дополнительной пульсации при = 11.

Если увеличивать  далее предела, при котором невидимая пульсация оказывается в  она появится в  и будет перемещаться в направлении точки . В конце концов невидимая пульсация станет видимой (в точке ), что даст масштабируемое решение для фильтра с дополнительной пульсацией. Приведенное выше в некоторой степени качественное описание поведения различных типов оптимальных фильтров было проверено экспериментально; это оказалось чрезвычайно полезным для понимания сущности оптимальных фильтров.

На фиг. 3.54 представлены все типы оптимальных фильтров, которые могут быть получены путем изменения частоты среза фильтра. Первый из них соответствует решению с дополнительной пульсацией при = 25 и . Ниже приведены частотные характеристики двух различных масштабированных фильтров, равные нулю и 0,03 при = 0,5 для первого и второго фильтров соответственно. Последний фильтр в первом столбце соответствует решению с максимально возможным изменением масштаба, т. е. фильтру с частотной характеристикой, равной 0,05 при , кривая ошибки которого имеет  экстремумов одинаковой амплитуды.

Фиг. 3.53. Зависимость ширины переходной полосы от частоты среза полосы пропускания для нескольких оптимальных фильтров нижних частот.

Фиг. 3.54. Различные типы оптимальных фильтров нижних частот.

Первый фильтр во втором столбце соответствует точке, лежащей приблизительно посредине между двумя решениями с дополнительной пульсацией. Два следующих фильтра соответствуют масштабированным решениям с дополнительной пульсацией, но с величиной ошибки при , отличающейся от остальных экстремумов. У первого из них величина ошибки при  составляет около — 0,005, тогда как у второго она близка к 0,015. Последний фильтр во втором столбце соответствует решению с дополнительной пульсацией.

 

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление