Главная > Разное > Теория и применение цифровой обработки сигналов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава 4. ТЕОРИЯ И АППРОКСИМАЦИЯ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ИМПУЛЬСНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

4.1. Введение

В настоящей главе рассматриваются методы расчета цифровых фильтров с бесконечными импульсными характеристиками (БИХ-фильтров) при условии, что фильтры являются физически реализуемыми и, конечно, устойчивыми. Для импульсных характеристик таких фильтров  справедливы следующие ограничения:

                                    (4.1)

                           (4.2)

Наиболее общая форма записи -преобразования импульсной характеристики БИХ-фильтров имеет вид

      (4.3)

Здесь по крайней мере один из коэффициентов  отличен от нуля, причем сразу все корни знаменателя не могут в точности компенсироваться корнями числителя. Действительно, рассмотрим, например, фильтр с -преобразованием импульсной характеристики

,                      (4.4)

удовлетворяющим общей формуле (4.3). Так как корень  знаменателя компенсируется корнем  числителя, то фактически функция  представляет собой полином от  с конечным числом членов, так что последовательность  будет соответствовать КИХ-фильтру.

Фильтр с передаточной функцией вида (4.3) имеет, вообще говоря, конечное число нулей () и полюсов (). Нули  могут располагаться на всей -плоскости, но полюсы  в соответствии с условием устойчивости фильтра обязательно должны размещаться внутри круга единичного радиуса. В большинстве случаев, особенно при расчете цифровых фильтров по характеристикам аналоговых фильтров, число нулей () не превышает числа полюсов (). Системы, удовлетворяющие этому условию, называются системами -го порядка. При  порядок системы становится неопределенным. В этом случае можно считать, что передаточная функция  соответствует последовательному соединению системы -го порядка и КИХ-фильтра -го порядка. При рассмотрении всех методов расчета фильтров в настоящей главе предполагается, что .

В отличие от КИХ-фильтров устойчивые, физически реализуемые БИХ-фильтры не обладают строго линейной фазовой характеристикой (за исключением частного случая, когда все полюсы  размещаются на единичной окружности). Действительно, в гл. 3 было показано, что фильтр будет иметь линейную фазовую характеристику, если

                                     (4.5)

[с точностью до множителя с линейной фазой, см. (3.19)]. Для БИХ-фильтров это условие означает, что каждому полюсу передаточной функции , расположенному внутри единичного круга (модули этих полюсов меньше 1), должен соответствовать зеркально отображенный полюс вне единичного круга, поэтому такой фильтр будет неустойчивым. В связи с этим при расчете БИХ-фильтров всегда приходится рассматривать аппроксимацию заданных и амплитудной, и фазовой характеристик. Существует, правда, специальный вид БИХ-фильтров с равномерной амплитудной характеристикой, у которых при изменениях положения нулей и полюсов меняется лишь фазовая характеристика. Фильтры такого вида называют всепропускающими цепями. Для этого чтобы цепь была всепропускающей, необходимо, чтобы каждому полюсу ее передаточной функции  в точке  соответствовал нуль в точке , причем для действительных последовательностей  и полюсы, и нули должны иметь комплексно сопряженные пары. Типичное расположение полюсов и нулей для всепропускающего фильтра 2-го порядка показано на фиг. 4.1.

Фиг. 4.1. Расположение нулей и полюсов всепропускающего фильтра 2-го порядка.

Фиг. 4.2. Фазовая характеристика все пропускающего фильтра 2-го порядка.

Фиг. 4.3. Два метода построения БИХ-фильтров с нулевой фазовой характеристикой.

Передаточная функция этого фильтра равна

.                                 (4.6)

Ее можно преобразовать к виду

.     (4.7)

Значения  на единичной окружности дают амплитудную характеристику фильтра, которая удовлетворяет условию

,

а также фазовую характеристику, изображенную (для часто встречающихся значений  и ) на фиг. 4.2. Всепропускающие фильтры представляют интерес прежде всего потому, что их последовательное соединение можно использовать для выравнивания заданной фазовой характеристики (или характеристики групповой задержки).

Фиг. 4.4. К определению эквивалентного фильтра.

Если не учитывать ограничения (4.1), связанного с физической реализуемостью фильтров, то можно предложить два различных метода построения БИХ-фильтров с линейными фазовыми характеристиками (фиг. 4.3). В обоих случаях фильтры с передаточной функцией  представляют собой физически реализуемые БИХ-фильтры, а блоки с обозначением «инверсия времени» описываются уравнением

,                                                                 (4.8)

где  и  — входная и выходная последовательности этих блоков соответственно. Ограничения, при которых возможно построение таких блоков, будут сформулированы после того, как будет предварительно показано, что в обоих случаях эквивалентный фильтр имеет линейную (нулевую) фазовую характеристику. Понятие эквивалентного фильтра иллюстрируется с помощью фиг. 4.4, откуда следует, что передаточная функция эквивалентного фильтра  равна

.                                            (4.9)

Для метода 1 (см. фиг. 4.3 и 4.4) имеем

                                                 (4.10а)

                    (4.106)

                                        (4.10в)

              (4.10г)

                                   (4.10д)

                                     (4.10e)

При выводе этих соотношений учитывалось, что если -преобразование последовательности  равно  то для инвертированной во времени последовательности  оно будет равно . Из конечного результата (4.10е) следует, что эквивалентный фильтр имеет нулевую фазовую характеристику, причем его амплитудная характеристика равна квадрату амплитудной характеристики БИХ-фильтра.

Для метода 2 аналогично получим

                                                 (4.11а)

                    (4.116)

                                        (4.11в)

                                           (4.11г)

    (4. 11д)

                                  (4. 11е)

                          (4.11ж)

где

                              (4.11з)

И в этом случае эквивалентный фильтр имеет нулевую фазовую характеристику, однако его амплитудная характеристика равна удвоенному произведению амплитудной характеристики исходного фильтра на функцию косинуса от фазовой характеристики исходного фильтра. По этой причине предпочтение следует отдать методу 1.

На практике точная реализация обоих рассмотренных методов невозможна ввиду того, что приходится инвертировать бесконечные временные последовательности, не дожидаясь, пока они закончатся. Ограничив, однако, эти последовательности соответствующим числом членов, всегда можно обеспечить любую наперед заданную точность аппроксимации эквивалентного фильтра. Более подробно этот подход рассмотрен в тезисах Гиббса.

 

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление