Главная > Физика > Сопротивление материалов (Работнов Ю.Н.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 100. Главные оси и главные моменты инерции.

Из рассмотрения круговой диаграммы видно, что существуют две взаимно перпендикулярные оси, для которых центробежный момент равен нулю и осевые моменты принимают наибольшее и наименьшее значение.

Оси эти называются главными осями инерции, соответствующие осевые моменты — главными моментами инерции. Будем считать, что , есть наибольший момент, а — наименьший. Формулы для них следующие:

Здесь — угол между осями . Эти формулы мы получили из формул (46.7) и (46.8) для главных напряжений и угла, определяющего направление главной оси, заменив в них через через через — Очевидно, что фигура, для которой круговая диаграмма не вырождается в точку, может иметь только одну пару главных осей. Если из каких-либо соображений известно, что фигура имеет больше одной пары главных осей, то круговая диаграмма вырождается в точку и любая ось является главной осью. Это относится прежде всего к центральным осям всех правильных фигур. Так, момент инерции квадрата относительно любой оси, проходящей через центр тяжести, есть если а — сторона.

Действительно, в квадрате можно указать две пары осей симметрии: диагонали и прямые, соединяющие середины сторон. Как показано в § 96, оси являются главными, если хотя бы одна из них есть ось симметрии.

Главные центральные оси и моменты инерции имеют особое значение в теории изгиба. В большинстве случаев фигуру можно разбить на простейшие фигуры — прямоугольники и треугольники.

Схема определения главных центральных моментов при этом следующая:

1. Находится центр тяжести фигуры, и приводятся вспомогательные центральные оси х и у.

2. Через центр тяжести каждой из частей, координаты которого в осях х, у суть проводятся оси параллельные осям х и у.

3. Определяются площади моменты инерции каждой части относительно своих центральных осей .

4. Находятся моменты инерции всей фигуры относительно осей х и у по формулам:

(100-2)

5. По формулам (100.1) находят главные моменты инерции и угол определяющий направление оси I. Для уточнения вопроса о том, которая из осей является первой, можно воспользоваться формулами (36.9), которые применительно к моментам инерции будут иметь вид:

Рис. 145.

Пример. Требуется определить главные центральные моменты инерции сечения, изображенного на рис. 145. Фигуру можно считать состоящей из трех частей: прямоугольника с высотой 6 см и шириной 2 см, квадрата со стороной 4 см и крута отрицательной площади диаметра 3 см. Для выполнения первого этапа введем вспомогательные оси (их можно выбирать как угодно). Вычисления расположены в следующей таблице:

Таблица I

Здесь — координаты центра тяжести каждой части, — площади частей, произведения — статические моменты. Суммируя соответствующие столбцы, находим общую площадь и статические моменты ее относительно осей и и V, после чего определяем координаты центра тяжести:

Дальнейшие вычисления сведены в таблице II.

Здесь моменты инерции прямоугольников вычисляются по формуле (98.3):

момент инерции круга равен (98.5); для круга площадь и осевые моменты считаются отрицательными.

Таблица II

По формулам (100.2) представляет собою результат сложения сумм четвертого и восьмого столбцов:

Аналогично

Главные моменты инерции находятся по формулам (100.1):

Таким образом,

По формуле (100.3) находим угол наклона главной оси:

и

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление