Главная > Физика > Сопротивление материалов (Работнов Ю.Н.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 103. Нормальные напряжения при изгибе.

Желая определить нормальные напряжения в сечении балки, нагруженной произвольными силами, как показано на рис. 149, поместим в этом сечении начало прямоугольной системы координат таким образом, чтобы плоскость сечения совпала с плоскостью . Мысленно рассечем балку плоскостью отбросим одну часть балки (на чертеже правую) и рассмотрим равновесие оставшейся части (левой на чертеже). Из шести уравнений статики составим три: условия равенства нулю проекций сил на ось z и моментов относительно осей х и у.

Получим:

(103.1)

Индекс вверху обозначает, что суммируются проекции и моменты тех сил, действующих на стержень, которые приложены слева от рассматриваемого сечения.

Рис. 149.

Обозначим:

Здесь называется продольной силой в сечении, — изгибающими моментами относительно осей х и у соответственно.

Внесем эти обозначения в (103.1) и вычислим интегралы, полагая

Вспоминая определения моментов инерции и статических моментов, найдем:

(103.2)

До сих пор мы никак не ограничивали выбор, системы координат. Вид формул (103.2) подсказывает, что начало координат удобнее поместить в центре тяжести сечения; тогда статические моменты выпадают и мы получим:

Две последние формулы становятся еще более простыми, если принять за оси х, у не любые центральные оси, а главные центральные оси инерции. Тогда обращается в иуль и мы получаем:

Формула (102.2) для напряжений приобретает следующий вид:

(103.4)

Это и есть основная формула для нормальных напряжений при изгибе. Здесь х и у координаты точки сечения относительно главных центральных осей инерции.

Такой выбор осей не является абсолютно необходимым, можно найти из общих уравнений (103.2). Тогда мы получили бы вместо (103.3) значительно более сложные формулы. Практически при расчетах на изгиб всегда пользуются главными осями, поэтому общую формулу мы не выписываем.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление