Главная > Физика > Сопротивление материалов (Работнов Ю.Н.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 110. Внецентренное растяжение — сжатие.

Возвращаясь к общему случаю, рассмотренному когда изгибающий момент приложен не в главной плоскости и существует осевая составляющая внешних сил, применим формулу (103.4)

к задаче о внецентренном растяжении или сжатии стержня. Пусть линия действия растягивающей силы Р (рис. 160) не совпадает с осью стержня. Точку пересечения ее с плоскостью сечения назовем полюсом; пусть и суть координаты полюса. Тогда

Подставив это в формулу для напряжений, получим:

Рис. 159.

Рис. 160.

Поскольку, например, J есть величина, имеющая размерность длины в четвертой степени, ее можно представить так:

Здесь — некоторая лянейная величина, называемая радиусом инерции.

Аналогично

Окончательная запись формулы для напряжений будет следующая:

Симметрия этой формулы относительно переменных доказывает следующую теорему:

Теорема 1. Напряжение в точке 1, вызванное силой, параллельной оси стержня, линия действия которой проходит через точку 2, равно напряжению в точке 2 от такой же силы, линия действия которой проходит через точку 1.

Приравнивая нулю левую часть (110.1), получим уравнение прямой, точки которой свободны от напряжений:

(110.2)

Эту прямую называют нулевой линией.

Записывая уравнение (110.2) как уравнение прямой в отрезках:

где

(110-3)

— отрезки, отсекаемые нулевой линией на осях координат, получаем простой способ построения нулевой линии: по заданным координатам полюса находятся отрезки а и b и откладываются по осям координат от начала. Через их концы проводят прямую, которая и будет нулевой линией.

Докажем теперь следующую теорему:

Теорема 2. При перемещении полюса по прямой нулевая линия вращается около неподвижной точки.

Пусть (рис. 161) есть прямая, отсекающая отрезки А и В на осях координат. Примем ее за нулевую линию, тогда по формулам (110.3) координаты соответствующего полюса точки Q суть

Это значит, что если в точке Q находится полюс, то в любой точке прямой например в точке М, напряжение равно нулю. Согласно теореме 1, если, наоборот, приложить силу в точке М, то в точке Q напряжение окажется равным нулю, следовательно, эта точка принадлежит нулевой линии полюса .

А так как точка М есть произвольная точка прямой то совокупность нулевых линий для всех положений полюса на этой линии есть пучок прямых, проходящих через точку

В частном случае, когда полюс движется по прямой, проходящей через центр тяжести, точка Q уходит в бесконечность, следовательно, нулевая линия перемещается параллельно себе.

Рис. 161.

Это следует из формул (110.3): пропорциональное изменение координат влечет пропорциональное же изменение отрезков а и b.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление