Главная > Физика > Сопротивление материалов (Работнов Ю.Н.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 111. Ядро сечения.

При расчете на внецентренное сжатие стержней из хрупкого материала стремятся к тому, чтобы во всех точках сечения напряжения были сжимающими. Действительно, каменная кладка, например, совершенно не способна воспринять растягивающие силы, при этом неминуемо разойдутся швы. Бетон обладает весьма малой прочностью при растяжении по сравнению с прочностью при сжатии. Чтобы обеспечить постоянство знака напряжения, сжимающую силу следует прикладывать в торцевом сечении внутри некоторой области, называемой ядром сечения.

Ядром сечения называется геометрическое место полюсов, для которых напряжения во всех точках сечения имеют один и тот же знак. Способ построения ядра сечения очевиден из определения. Если полюс находится на контуре ядра сечения (рис. 162), то нулевая линия должна касаться контура сечения стержня. Действительно, заставляя полюс двигаться по лучу, выходящему из центра тяжести сечения О, мы перемещаем. нулевую линию пхпх параллельно себе из бесконечности, если движение полюса начинается из центра тяжести О. Пока полюс находится внутри ядра сечения, нулевая линия не пересекает сечение; она касается контура сечения в тот момент, когда полюс попадает в точку, принадлежащую контуру ядра сечения.

Рис. 162.

Рассмотрим, например, построение ядра сечения эллипса. Обозначая координаты точек эллипса, имеем уравнение его:

Уравнение касательной к эллипсу в точке

(111.2)

Здесь х, у — текущие координаты точек касательной.

Рис. 163.

Отождествляя касательную с нулевой линией, то есть уравнение (111.2) с уравнением (110.2), получим:

Но для эллипса

Поэтому

Следовательно,

(111.3)

Формулы (111.3) определяют точку ядра сечения такую, что полюсу в этой точке соответствует нулевая линия, касательная к эллипсу в точке . Легко видеть, что геометрическое место таких точек, то есть контур ядра сечения, есть эллипс, подобный данному, но с полуосями в четыре раза меньшими. Отсюда следует, в частности, что для круга радиуса R ядро сечения есть круг радиуса

Посмотрим теперь, как поступать, если контур имеет угловые точки. Пусть, например, две гладкие кривые, ограничивающие контур, пересекаются в точке Q (рис. 163). При обходе контура Г, касательная непрерывно переходит из положения 1 в положение 2. Полюс, для которого эта касательная есть нулевая линия, описывает дугу контура ядра течения. Положению 3 касательной соответствует полюс 3, который движется по дуге 3—4 при движении касательной вдоль . Остается соединить точки 2 и 3.

Теорема 2 § 110 указывает, что эти точки нужно соединить прямой, так как при вращении нулевой линии около точки Q полюс движется по прямой, а точки ее 2 и 3 известны.

Отсюда очевидно, что ядро сечения многоугольника будет также многоугольник, вершины которого суть полюсы, соответствующие нулевым линиям, совпадающим со сторонами многоугольника.

Для построения ядра сечения многоугольника следует:

1) найти главные центральные оси инерции и соответствующие радиусы инерции;

2) для каждой стороны найти отрезки отсекаемые ее продолжением на осях х и у;

3) вычислить координаты вершин ядра сечения по формулам (110.3):

4) соединить вершины ядра прямыми.

Применим эти правила к случаю прямоугольника (рис. 164), для которого

Рис. 164.

Сторона 1— 1:

Сторона 2—2:

Сторона 3—3:

Сторона 4-4:

Соединим точки 1, 2, 3,, 4 прямыми, получим изображенный на чертеже ромб, который и будет ядром сечения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление