Главная > Физика > Сопротивление материалов (Работнов Ю.Н.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 117. Пределы применимости приближенной теории.

Чтобы выяснить степень точности приближенного уравнения (116.4), сравним результат его решения с результатом решения точного уравнения (116.3) в случае, когда последнее не сложно. Пусть балка длины нагружена на конце моментом М (рис. 172). Изгибающий момент всюду постоянен и равен М. Пользуясь точным уравнением (116.3) или лучше (116.1), найдем, что радиус кривизны постоянен и прогиб на конце

Рис. 172.

Разложим косинус в ряд, ограничившись тремя его членами:

Для получим следующее выражение:

или

Решим теперь ту же задачу с помощью уравнения (116.4). Интегрируя два раза, найдем:

Но , так как при . Поэтому прогиб по приближенной теории есть

Теперь можно представить точное значение прогиба следующим образом:

Относительная погрешность вычисления прогиба по приближенной теории:

Предположим теперь, что мы при определении прогиба удовлетворяемся точностью в 3%. Большая точность не нужна, так как модуль упругости обычно известен с меньшей точностью. Полагая

получим:

Таким образом, уравнение (116.4) дает достаточную точность даже тогда, когда прогиб составляет 30% длины. Такие большие прогибы возможны у очень тонких балок. Действительно,

Обозначив через А расстояние от оси до крайней точки сечения балки, получим:

Отсюда

Подставляя в (117.5), получим:

Отсюда

Примем для стали

Тогда

Только если отношение больше шестисот, погрешность приближенного уравнения (116.4) может превысить 3%. Как видно, это перекрывает все практические потребности. Исключение, может быть, составляют случаи расчета пружин.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление