Главная > Физика > Сопротивление материалов (Работнов Ю.Н.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 125. Изгиб балки на упругом основании.

Примером балки на упругом основании является железнодорожная шпала, нагруженная двумя силами, передаваемыми через рельсы. Не имея опор, шпала передает эту нагрузку непосредственно грунту, изгибаясь при этом вследствие податливости грунта.

Рис. 185.

Термин «упругое основание» в применении к грунту является довольно условным, ибо механические свойства грунта не тождественны со свойствами упругого тела в обычном смысле слова, и понимается этот термин в теории упругости и в сопротивлении материалов по-разному. Если поставить задачу о равновесии балки, покоящейся на массивном упругом теле, ограниченном с одной стороны плоскостью, мы получим пример так называемой контактной задачи теории упругости, точное решение которой встречает большие математические трудности. Существо их состоит в том, что деформация тела в одной какой-либо точке зависит не только от давления в этой точке, но и от давлений в соседних точках.

Желая упростить постановку задачи и сделать ее доступной элементарным методам, предполагают, что перемещение упругого основания зависит только от давления в той точке, в которой ищется перемещение. Эта гипотеза, иногда называемая гипотезой Винклера, как бы заменяет реальное упругое тело рядом не связанных между собой пружин или стерженьков (рис. 185). Считая реакцию основания пропорциональной прогибу, найдем, что распределенная непрерывным образом по длине балки реакция есть .

Такая упрощенная модель упругого основания довольно хорошо воспроизводит свойства грунта, который, собственно, не может считаться упругим телом: связность между его частицами меньшая» нежели в сплошном упругом теле. Имеются более сложные и более совершенные модели упругого основания. Так, М. М. Филоненко-Бородич предложил модель упругого основания, способную распределять нагрузку и в то же время допускающую применение элементарного математического аппарата.

Для составления дифференциального уравнения изгиба балки, лежащей на упругом, в смысле Винклера, основании мы будем исходить из дифференциального уравнения изгиба в форме (116.5). В правой части к действующей нагрузке q мы прибавим реакцию основания и будем считать жесткость балки при изгибе, то есть произведение , постоянной. Получим;

или

Уравнение (125.1) встречается не только в задаче о балке на упругом основании, но и в других разделах строительной механики, например в теории цилиндрических оболочек. Займемся сначала интегрированием однородного уравнения

(125.2)

Корни характеристического уравнения суть

Комбинируя соответствующие частные решения так, чтобы избавиться от мнимостей, получим общий интеграл уравнения (125.2)

(125.3)

Применяя метод § 123, мы должны с помощью общего интеграла (125.3) образовать систему частных решений с. единичной матрицей.

Эти решения суть

(125.4)

Отметим, что

По формуле (123.6)

(125.5)

Здесь

(125.6)

Вычислим функцию для случая, когда балка загружена сосредоточенной силой в селении с координатой . Заменим сосредоточенную силу равномерно распределенной нагрузкой на участке от до . Интенсивность этой нагрузки примем равной . По формуле если Если то

Применим к этому интегралу теорему о среднем. Получим:

Будем теперь приближать к пределу, равному нулю. Исковое частное решение представится так:

Желая получить решение в случае сосредоточенного момента, приложенного в сечении с координатой а, приложим в этом сечении сосредоточенную силу величиной в сечении с координатой силу . При , суммируя найденные решения для двух сил, получим:

Переходя к пределу при и вспоминая, что найдем:

Рассмотрим, наконец, случай равномерно распределенной нагрузки, начинающейся при . По формуле (125.6)

Но, как легко проверить непосредственным вычислением,

Поэтому

Если нагрузка заканчивается при то считаем ее продолжающейся вправо неограниченно, но прикладываем нагрузку начиная с . При получим:

Окончательная формула для прогибов будет следующей:

(125.7)

Символ суммы с индексом вверху нужно понимать так же, как в § 118.

Рис. 186.

Рассмотрим в качестве примера задачу об изгибе полубесконечной балки силой и моментом на конце (рис. 186). В формуле (125.5) нужно положить:

Получим:

Для определения постоянных потребуем, чтобы прогиб на бесконечности был равен нулю.

Для этого заметим, что при больших значениях аргумента

Следовательно, по формулам (125.4)

При больших z

Сравнивая коэффициенты при найдем:

Отсюда

(125.8)

Заметим, что прогиб меняет знак: на некоторых участках балка приподнимается над основанием. Мы предполагаем при решении задачи, что реакция основания возникает и при отрицательных прогибах.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление