Главная > Физика > Сопротивление материалов (Работнов Ю.Н.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 128. Центр изгиба.

Предположим теперь, что сечение стержня несимметрично. Покажем, что существует такая ось, параллельная, оси стержня, что силы, действующие в любой проходящей через эту ось плоскости, не вызывают кручения. Точку пересечения этой оси с плоскостью сечеиия называют центром изгиба. Если такая точка С существует, то касательные силы в сечении приводятся к равнодействующей, проходящей через эту точку.

Отсюда следует, что сумма моментов всех касательных сил в сечении относительно точки С равна нулю. На элемент с координатами х, у действует сила (рис. 192); момент ее относительно точки С есть

Рис. 192.

где — длина перпендикуляра, опущенного из точки С на касательную. Если С есть центр изгиба, то

Но — это удвоенная площадь треугольника с основанием и вершиной в точке С. Положим . Таким образом,

Применим формулу интегрирования по частям. Получим:

Но обращается в нуль при . Воспользуемся, кроме того, для преобразования интеграла уравнением (126.2), вспомнив, что

как показано в § 126. Окончательный результат будет следующий:

а так как произвольны, положение центра изгиба определяется следующими условиями:

(128.1)

Совершенно элементарно находится центр изгиба для углового профиля. Если принять за полюс вершину, то секториальная площадь равна нулю, поэтому условия (128.1) выполняются, и вершина есть центр изгиба (рис. 193).

Рис. 193.

Аналогично для таврового сечения центр изгиба находится в точке пересечения стенки с полкой. Заметим, что в формуле (128.1) к величине можно прибавить любую постоянную величину. Действительно,

так как оси х и у предполагаются центральными и статический момент площади сечения относительно оси х равен нулю. Вследствие этого замечания секториальную площадь <а можно отсчитывать не от конца профиля, а от какой-либо его. промежуточной точки.

Для фактического нахождения центра изгиба важно иметь формулу, непосредственно определяющую его координаты. Для этого возьмем некоторую произвольную точку В и примем ее за полюс секторнальной площади . Установим связь между .

Из рис. 194 видно, что

Рис. 194.

Мы считаем, что секториальная площадь возрастает, если обход контура для наблюдателя, находящегося в полюсе, представляется происходящим против часовой стрелки.

Аналогично

Поэтому

Интегрируя, найдем:

(128.2)

Аддитивная константа, как мы выяснили, несущественна.

Подставляя (128.2) в формулу (128.1), получим:

Отсюда

(128.3)

Применим эти формулы к нахождению центра изгиба швеллера (рис. 195). Примем за точку В середину стенки, получим для верхней полки , нижней , для стенки . Для соответственных точек верхней и нижней полок значений х одинаковы, тогда как одинакова по величине, но различна по знаку. Поэтому

Рис. 195.

Для получим формулу

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление