Главная > Физика > Сопротивление материалов (Работнов Ю.Н.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 130. Закон секториальных площадей.

Нам осталось облечь в аналитическую форму качественные рассуждения предыдущего параграфа. Для этого выясним прежде всего, как искривляется сечение тонкостенного стержня при чистом кручении. В § 90 была получена формула (90.3), выражающая величину касательного напряжения в стержне:

(130.1)

Здесь Q — расстояние от точки сечения до оси вращения его при кручении; — угол между радиусом-вектором и нормалью к линии тока, элемент дуги которой есть ; — перемещение точки сечения.

Так как — расстояние от центра С до касательной (рис. 125), то произведение равно удвоенной площади заштрихованного треугольника, то есть . Применим формулу (130.1) к средней линии контура, которая при кручении свободна от касательных напряжений. Получим:

Интегрируя, найдем:

(130.2)

Предположим теперь, что угол закручивания меняется по длине. Некоторая точка образующей получает смещение и, бесконечно близкая точка той же образующей — смещение Относительное удлинение элемента образующей равно

По формуле закона Гука вычислим теперь напряжение:

(130.3)

Формула (130.3) показывает, что нормальные напряжения в поперечных сечениях тонкостенного стержня при его стесненном кручении распределяются по закону секториальных площадей.

При применении формулы (130.3) возникает одна неясность. Дело в том, что мы не знаем центра вращения профиля при кручении, который нужно принять за полюс секториальиой площади.

Из этого затруднения легко выйти, если предусмотреть наряду с кручением возможность одновременного растяжения — сжатия и изгиба стержня. Прибавим к общей формуле напряжений при изгибе член, даваемый формулой (130.3). Получим:

(130.4)

При составлении этой формулы мы не воспользовались выражениями для коэффициентов А, В и С через изгибающие моменты, моменты инерции, продольную силу и площадь сечения, потому что мы не знаем, является ли самоуравновешенной система напряжений, распределенных по закону секториальиых площадей. Зато теперь мы можем в формуле (130.4) принимать за полюс для секториальиой площади любую точку. Действительно, по формуле (128.2) получается, что изменение полюса изменяет величину секториальиой площади на линейную функцию от координат. Эту линейную функцию можно объединить с тремя первыми членами уравнения (130.4), Таким образом, изменение полюса не меняет вида этого уравнения, сказываясь лишь на величине коэффициентов А, В и С.

Раз так, будем руководствоваться при выборе полюса единственно лишь соображениями удобства. Поместим полюс в центре изгиба. Тогда, как известно,

(130.5)

Очевидно, что прибавление к функции постоянной сказывается лишь на величине С в формуле (130.4), поэтому мы вправе принять за начало отсчета секториальиой площади любую точку оси профиля. Выберем эту точку так, чтобы было

(130.6)

Секториальную площадь, определенную так, чтобы выполнялись условия (130.5) и (130.6), будем называть главной секториальиой площадью.

Составим теперь уравнения статики для части стержня так, как это сделано в § 103.

Подставим выражение , даваемое формулой (130.4), в уравнения равновесия:

Вычисляя первый интеграл, получим:

Вследствие уравнения (130.6) и того, что оси х и у проходят через центр тяжести, все интегралы, кроме третьего, обратятся в нуль. В то же время

Поэтому

Аналогичным образом, принимая во внимание, что оси х и у являются главными, а также условия (130.5), найдем:

Перепишем теперь формулу (130.4) следующим образом:

(130.7)

Займемся теперь подсчетом изгибно-крутильных касательных напряжений. Воспользуемся для этого формулой (126.3). Поступая так же, как в § 126, найдем:

(130.8)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление