Главная > Физика > Сопротивление материалов (Работнов Ю.Н.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 131. Уравнение стесненного кручения.

Подсчитаем момент касательных сил в сечении, мерой которых служит определенное формулой (130.8) напряжение, относительно центра изгиба. Обозначая этот момент и поступая так, как это делалось при определении центра изгиба, найдем:

Сюда нужно подставить выражение по формуле (130.8). Дело сведется к вычислению трех интегралов, причем два первых обращаются в нуль. Действительно, первый интеграл будет следующий:

Интегрируя по частям, получим:

так как оси х и у являются главными центральными осями и за полюс при определении секториальиой площади выбран центр изгиба. Совершенно аналогично показывается, что и второй интеграл равен нулю. Остается

Здесь

Подставляя выражение в формулу для момента, получим:

Этот интеграл следует брать по частям:

Но при подстановке пределов 0 и h первый член обращается в нуль вследствие (130.6); Введем обозначение:

По внешней аналогии с определением осевых моментов инерцни будем называть величину векториальным моментом инерции.

Теперь

(131.1)

Положим

(131.2)

Величина В называется бнмоментом. Впоследствии мы покажем, что это та же величина, которая была введена в § 109. Пока что заметим, что изгибно-крутильный момент связан с бимоментом так же, как перерезывающая сила с изгибающим моментом:

Однако формула (131.3) не позволяет, например, построить эпюру бимоментов. Дело в том, что полный крутящий момент в сечении уравновешивается изгибно-крутильным моментом лишь частично и величина последнего заранее неизвестна.

Формула (130.7) переписывается теперь в следующей симметричной форме:

(131.4)

Формула для касательных напряжений (130.8) имеет вид:

Мы уже заметили, что полный крутящий момент в сеченнн уравновешивается лишь частично изгибно-крутильным моментом .

Кроме изгибно-крутильных касательных напряжений, в сечении существуют еще обычные для тонкостенных профилей касательные напряжения, момент которых связан с погонным углом закручивания обычной формулой теории кручения тонкостенных стержней;

(131.6)

Здесь С — геометрическая жесткость, вычисляемая так, как указано в § 91. Уравнение моментов относительно оси есть

Внося сюда выражения (131.1) и (131.6), получим:

(131.7)

Это и есть основное дифференциальное уравнение теории стесненного кручення.

Чтобы составить это уравнение, необходимо уметь вычислять секториальные характеристики сечения, то есть секториальные моменты инерции. Этот вопрос и составит содержание следующего параграфа.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление