Главная > Физика > Сопротивление материалов (Работнов Ю.Н.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 137. Эластика Эйлера.

Рассмотрим задачу, поставленную в предыдущем параграфе, в точной постановке. Напишем дифференциальное уравнение изгиба так:

Кривизна и изогнутой оси равна , где — изображенный на рис. 209 угол между касательной к изогнутой оси стержня и осью, проходящей через его концы.

У равнение изгиба будет следующим:

(137.1)

Здесь то же, что и в § 136.

Продифференцируем уравнение (137.1) по s, заметив, что

Получим:

(137.2)

Уравнение (137.2) интегрируется квадратурами обычным способом. Запишем его так:

Заметим, что преобразование левой части вполне аналогично преобразованию левой части уравнения движения при выводе теоремы живых сил.

Разделяя переменные и интегрируя, найдем:

Мы воспользовались здесь граничным условием: при и .

Перейдем в этом выражении к половинным углам по формуле

Получим:

Сделаем замену переменной, приняв

(137.4)

Это всегда выполнимо, потому что 60,.

Дифференцируя (137.4), найдем:

Рис. 209.

Преобразуем к новой переменной выражение (137.3). Получим, разделяя переменные:

(137.5)

Положим

Заметим, что при . Поэтому, интегрируя левую часть от нуля до s, правую от до будем иметь:

Знак минус выбран для того, чтобы было s 0. Это эллиптический интеграл первого рода, то есть табулированная функция. Принимая обычные обозначения эллиптических интегралов:

получим:

При в силу симметрии, а следовательно, и . Поэтому

(137.6)

Из этого уравнения определяют неизвестную величину , связанную с углом наклона касательной на конце стержня. Теперь можуо найти координаты точек изогнутой оси стержня х и у, отправляясь от равенств

Перейдем к независимой переменной пользуясь (137.4) и (137.5). Получим:

Интегрируя и принимая во внимание, что при получим параметрические уравнения изогнутой оси:

(137.7)

Здесь

— эллиптический интеграл второго рода;

Обратимся теперь к исследованию уравнення (137.6).

Полный эллиптический интеграл F не может быть меньше чем это значение достигается при . Поэтому если , то это уравнение не имеет решения; единственно возможная форма равновесия прямолинейная. Но если

Это — первая критическая сила.

Таким образом, искривленная форма равновесия возможна тогда, когда . При этом каждому значению Р соответствует совершенно определенное значение по уравнению (137.6) и определенная кривая прогиба — эластика Эйлера, даваемая уравнениями (137.7). Прогиб растет по мере увеличения нагрузки весьма быстро, как показано на рис. 209.

Теперь понятно, почему мы могли обнаружить криволинейные формы равновесия при только с помощью точных уравнений. Для этих форм прогибы велики, а приближенное линеаризированное уравнение годится лишь для малых прогибов.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление