Главная > Физика > Сопротивление материалов (Работнов Ю.Н.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА XIII. ТРУБЫ И ДИСКИ

§ 143. Толстостенные трубы. Дифференциальные уравнения равновесия и совместности.

Рассмотрим толстостенную трубу, нагруженную внутренним (или внешним) давлением (рис. 220).

Введем цилиндрические координаты и выделим элемент объема с измерениями . Этот элемент изображен отдельно на рис. 221. Вследствие симметрии на грани элемента действуют только нормальные напряжения, которые мы обозначим . На рис. 221 показаны силы, действующие на элемент.

Рис. 220.

Рис. 221.

Проектируя все силы на направление биссектрисы, угла и приравнивая сумму проекций нулю, составим следующее уравнение равновесия элемента:

Сокращая дифференциалы, получим:

(143.1)

Уравнение (143.1) можно переписать также в следующем виде:

(143.2)

Обратимся к рассмотрению деформаций того же элемента, для которого мы составили уравнение равновесия. Обозначим через радиальное перемещение точки, находящейся на расстоянии от оси (точки и q на рис. 221). Элемент займет положение (рис. 222); если дуга равнялась дуга равна . Относительное удлинение элемента мы обозначим через причем

Рис. 222.

Точка после деформации перейдет в положение , перемещение ее есть . Относительное удлинение отрезка мы обозначим . Величина его

Главные удлинения , оказываются выраженными через одну только функцию . Таким образом, они не независимы, а связаны соотношением, которое называется уравнением совместности деформаций. Чтобы получить это уравнение, умножим (143.3) на , продифференцируем и вычтем (143.4). Получим:

(143.5)

Другая форма записи уравнения совместности деформаций:

(143.6)

Сравнивая (143.1) и (143.5) или соответственно (143.2) и (143.6), мы обнаруживаем известную внешнюю аналогию уравнения равновесия и уравнения совместности.

План дальнейшего решения задачи для упругой трубы состоит в том, чтобы воспользоваться уравнениями закона Гука и выразить либо напряжения через деформации, либо деформации через напряжения. Но здесь мы встречаемся с необходимостью принять во внимание напряжение и деформацию которые не вошли ни в уравнение равновесия, ни в уравнение совместности. Если труба достаточно длинная, то плоские сечения трубы, перпендикулярные ее оси, будут оставаться плоскими.

Основания для применения в этом случае гипотезы плоских сечений те же самые, что и для растянутых или сжатых стержней. Для бесконечно длинной трубы все сечения находятся в совершенно одинаковых условиях и нет оснований ожидать, что сечение искривится при деформации в том или ином направлении, так как предпочтительного направления вдоль оси z не существует. Для трубы конечной длины справедлив принцип Сен-Венана. Поэтому осевая деформация для всей трубы, за исключением области, непосредственно примыкающей к ее концам, должна считаться постоянной. Это справедливо как в упругом, так и в пластическом состоянии трубы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление