Главная > Физика > Сопротивление материалов (Работнов Ю.Н.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 150. Начало возможных перемещений для деформируемого тела.

Если тело под действием системы внешних сил приложенных в точках с радиусами-векторами находится в равновесии, то к телу можно применить начало возможных перемещений. Нужно только иметь в виду, что на возможных перемещениях будут производить работу не только внешние, но и внутренние силы. Запишем условия равенства нулю работы сил на возможных, т. е. согласных со связями, перемещениях точек деформируемого тела следующим образом:

(150.1)

В правой части стоит изменение упругой энергии, соответствующее данной системе возможных перемещений, если тело упруго, или величина рассеянной энергии, если тело пластическое, или, наконец, и то и другое вместе.

Величину работу внутренних сил в объеме V на возможных перемещениях, можно представить следующим образом:

(150.2)

Здесь — элементарная работа внутренних сил, приходящаяся на единицу объема.

Рассмотрим элемент объема в виде параллелепипеда, ребра которого направлены по главным осям тензора напряжений. Пусть действующие напряжения равны приращения деформаций суть . Если ребра параллелепипеда равны , на грань с измерениями действует напряжение следовательно, сила, действующая на эту грань, равна . Эта сила производит работу на перемещении, равном удлинению ребра а, то есть на перемещении . Подсчитывая работу сил, действующих на все грани, и относя ее к единице объема, получим:

(150.3)

В общем случав величина не является полным дифференциалом, следовательно, не существует функции . Однако для упругого тела такая функция существует и называется упругим потенциалом. Вспоминая изложенное в § 49, мы убеждаемся, что упругий потенциал есть не что иное, как упругая энергия на единицу объема. Действительно, если , выражены через , по закону Гука, то левая часть в формуле (150.3) интегрируется и мы получаем:

(см. § 49, формула (49.2)).

Существование упругого потенциала было положено в основу определения нелинейно упругого тела (§ 82), поэтому для нелинейно упругого тела выражение (150.3) всегда представляет собою полный дифференциал. Особенно большое значение имеет случай, рассмотренный в § 82, когда упругий потенциал выражается формулой (82.4):

Если воспользоваться еще соотношением (82.6), а именно тем,

то выражение для упругого потенциала можно переписать следующим образом:

(150.4)

Мы видели, что уравнения нелинейной теории упругости буквально совпадают с уравнениями деформационной теории пластичности, поэтому выражение (150.4) сохраняет свое значение и в теории пластичности, но должно теперь называться пластическим потенциалом.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление