Главная > Физика > Сопротивление материалов (Работнов Ю.Н.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 151. Теоремы Лагранжа и Кастильяно.

Формула (150.2) показывает, что упругая энергия деформации, так же как энергия пластического формоизменения, получающаяся, если определять о формулой (150.4), однозначно определяется заданием деформации. А так как деформированное состояние в свою очередь определяется однозначно заданием внешних сил Р, то W может рассматриваться как функция этих сил или перемещений точек их приложения. Итак, пусть на тело действуют обобщенные силы соответствующие обобщенные перемещения суть их, . Тогда можно считать, что

Сообщим обобщенным координатам произвольные изменения . Элементарная работа внешних сил при этом равна

Считая W представленной через обобщенные перемещения, для вариации W будем иметь следующее выражение:

Уравнение (150.1) приводится к следующему:

Вследствие произвольности вариаций отсюда следует:

Производная энергии деформации по перемещению равна силе. Это теорема Лагранжа, наиболее общая теорема механики деформируемого тела.

В качестве примера рассмотрим задачу, решенную в § 32 (см. рис. 42). Энергия деформации стержня при растяжении по формуле (28.4)

В рассматриваемом случае

Следовательно, полная энергия растяжения двух стержней

По теореме Лагранжа

Отсюда

что совпадает с формулой (32.3).

Мы специально выбрали такой пример, в котором зависимость между силой и перемещением нелинейна, чтобы подчеркнуть общность метода.

Представим себе теперь, что потенциальная энергия деформации выражена через внешние силы:

Образуем функцию

(151.3)

Варьируем функцию Ф. Получим:

Но вследствие теоремы Лагранжа

Поэтому

(151.4)

Предположим далее, что функция выражена только через внешние силы:

Тогда

Заменяя этим выражением для левую часть формулы (151.4) и замечая, что вариации произвольны, получим;

(151.5)

Эта формула выражает теорему Кастильяно.

Функция Ф называется дополнительной работой. Согласно уравнению (151.5) перемещение равно производной от дополнительной работы по силе. Термин «дополнительная работа» легко понять, если обратиться к рис. 230. При нелинейной зависимости между

Рис. 230.

Таким образом, W равна площади заштрихованной фигуры. Дополнительная работа Ф представляет собою площадь, дополняющую W до прямоугольника.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление