Главная > Физика > Сопротивление материалов (Работнов Ю.Н.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 152. Лииейиые упругие системы.

Применение общих теорем Лагранжа и Кастильяно к системам, для которых связь между внешними силами и перемещениями точек их приложения нелинейна, будь это вследствие того, что рассматриваются пластические деформации, или, как в примере предыдущего параграфа, вследствие того, что уравнения статики должны составляться для деформированного состояния, все равно наталкивается, на значительные трудности. В нашем курсе мы ограничимся линейными упругими системами, то есть системами, элементы которых подчиняются закону Гука, сочленения осуществлены без трения и малость деформаций позволяет составлять уравнения статики для недеформированного состояния. При этих условиях, как мы выяснили в § 32, перемещения и силы связаны линейными соотношениями. Легко видеть, что это относится в той же мере к изгибу и кручению, так как вёзде в этих задачах мы имеем дело с линейными функциями от сил. Исключение представляет случай продольно-поперечного изгиба: там выражение для поперечного изгиба зависит от продольной силы сложным образом, через трансцендентные функции. Легко понять, в чем тут дело. При составлении дифференциального уравнения продольно-поперечного изгиба мы принимаем момент от продольной силы равным произведению силы на прогиб, то есть определяем статический фактор с учетом происшедшей деформации.

Итак, будбм рассматривать линейные системы, для которых

или

(152.2)

Величины — коэффициенты влияния и — коэффициенты жесткости связаны очевидными соотношениями:

Здесь - определитель, общий элемент которого есть ; — алгебраическое дополнение этого элемента. Определители должны быть отличны от нуля. Покажем, что матрицы коэффициентов симметричны. По теореме Лагранжа

Аналогично

Из факта независимости второй смешанной производной функции от порядка дифференцирования следует:

Но по формуле (152.1)

Точно так же

Мы доказали, что , а следовательно, .

В линейной системе напряжения выражаются линейным образом через внешние силы, а так как удельная энергия о есть квадратичная функция от напряжений, то представляет собою квадратичную форму от сил . Вследствие (152.2) есть квадратичная форма от перемещений. Для того чтобы написать выражение W в зависимости от сил или перемещений, воспользуемся вариационным уравнением (151.1), приняв в нем

Таким образом, возможные перемещения мы выбираем пропорциональными действительным. Множитель Я произволен. Если W есть квадратичная форма от перемещений то по известной теореме Эйлера

Воспользуемся уравнением (151.1), внеся в него по сокращении на получим:

(152.3)

Это теорема Клапейрона.

Пользуясь уравнениями (152.1) или (152.2), можем представить потенциальную энергию деформации следующим образом:

или

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление