Главная > Физика > Сопротивление материалов (Работнов Ю.Н.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 171. Собственные частоты и главные формы колебаний.

Будем отправляться для определенности от уравнений (170.6), хотя те же результаты можно получить, если использовать уравнения в форме (170.7).

Рассматриваемая система — это система линейных однородных уравнений для неизвестных амплитуд свободных колебаний системы. При произвольных значениях со существует лишь тривиальное решение: . Условие существования нетривиального решёния состоит в равенстве нулю определителя системы:

Уравнение (171.1) представляет собою уравнение степени относительио , которое имеет корней, каждый из которых определяет собственную частоту системы. Таким образом, упругая система имеет столько собственных частот колебаний, сколько у нее степеней свободы.

Мы будем предполагать, что все корни уравнения (171.1) различны. Действительно, корни могут быть равными только тогда, когда коэффициенты податливости и массы грузов принимают совершенно определенные значения; достаточно немного изменить массу одного из грузов или жесткость какого-либо элемента системы, как корни станут различными. Таким образом, случай равных корней не может представлять каких-либо качественных особенностей, и нам нет необходимости на нем останавливаться.

Перенумеруем корни уравнения в порядке возрастания; соответствующие собственные частоты будут . Если внести в систему (170.6) значение равное она будет иметь отличные от нуля решения . Совокупность амплитуд, соответствующих определенной собственной частоте колебаний, называется главной формой колебаний. Главные формы колебаний обладают свойством ортогональности, которое выражается следующими равенствами:

(171.2)

Для доказательства положим в (170.6) и перепишем это уравнение следующим образом:

Умножим обе части на mfli и просуммируем по индексу L Получим:

Но можно было поступить иначе, а именно принять в (170.6) и переписать это уравнение в виде

Умножив на и просуммировав по индексу I, получим:

В равенствах (171.3) и (171.4) левые части одинаковы, одинаковы и двойные суммы в правых частях, так как (§ 152) . Но поэтому равенства (171.3) и (171.4) могут выполняться, одновременно только тогда, когда двойная сумма равна нулю, а следовательно, справедливо соотношение ортогональности (171.2).

До сих пор мы молчаливо предполагали, что все корни уравнения частот действительные и положительные числа. Сейчас мы можем это доказать. Действительно, предположим, что - комплексное число. Тогда обязательно найдется второй корень , являющийся комплексным сопряженным числом. Амплитуды главной формы номер к будут также комплексными числами вида амплитуды главной формы номер будут комплексными сопряженными числам» Подставляя в условие (171.2), мы получим:

Но это равенство невозможно, так как в левой части все слагаемые положительные.

С другой стороны, величина со, полученная в результате решения уравнения (171.1), всегда положительна. Действительно, положим в (171.3) и запишем это равенство следующим образом, опуская верхние индексы:

Сумма, стоящая в левой части, всегда положительна, так как все слагаемые положительны, сумма в правой части представляет собою удвоенную потенциальную энергию системы, нагруженной силами (см. формулу (152.5)). Но, каковы бы ни были силы, энергия всегда положительна, поэтому двойная сумма в правой части положительна при любых значениях амплитуд .

Поэтому также необходимым образом должно быть положительно.

Амплитуды, соответствующие каждой из главных форм колебаний, определяются в результате решения системы линейных однородных уравнений, поэтому они известны с точностью до множителя. Чтобы сделать выбор амплитуд главных форм колебаний определенным, подчиним их условию нормирования.

(171.6)

Пример. Балка на двух опорах длины несет три одинаковые массы, расположенные на равных расстояниях между собою и от опор (рис. 259).

Рис. 259.

Прежде всего строим эпюры моментов от единичных сил и находим коэффициенты влияния по способу Мора:

Запишем матрицу коэффициентов влияния следующим образом:

Обозначим

Уравнение частот (171.1) примет следующий вид:

Раскрыв определитель, получим следующее кубическое уравнение:

Корни этого уравнения:

Соответствующие частоты:

Уравнения для амплитуд главных форм колебаний будут такие:

Здесь нужно последовательно принимать . Фактически всегда приходится рассматривать только два уравнения, в данном случае можно взять первое и второе. Одна из амплитуд может быть задана по произволу. Примем, например, во всех случаях. Получим:

Выполнение условий ортогональности легко проверяется.

Амплитуды каждой из главных форм можно умножить на любое число, подберем в каждом случае это число так, чтобы было выполнено условие нормирования. Нормированные главные формы колебаний будут следующие:

На рис. 260 изображены найденные главные формы колебаний.

Рис. 260.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление