Главная > Физика > Сопротивление материалов (Работнов Ю.Н.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 172. Представление произвольной конфигурации системы через главные формы. Главные координаты.

Рассмотрим произвольную конфигурацию упругой системы с сосредоточенными грузами, имеющей степеней свободы. Эта конфигурация может соответствовать деформированному состоянию от действия произвольной системы внешних сил, может быть некоторой мгновенной конфигурацией, принимаемой системой в процессе движения, вызванного любыми силами при произвольных начальных условиях. Задать такую конфигурацию — это значит задать перемещений . Эти величины мы будем называть координатами системы. По определению координат системы произвольны и независимы между собой. Но для того, чтобы задать положение системы, существуют и другие возможности, любые чисел, однозначно определяющих конфигурацию, могут быть приняты за координаты. В частности, за координаты можио принять произвольные линейные комбинации из величин лишь бы они были независимы. Предположим, что главные формы колебаний системы известны. Введем координаты , соответствующие данной конфигурации, следующим образом:

или, более коротко,

(172.1)

Для того чтобы показать законность выбора величин в качестве координат, нужно убедиться в том, что из уравнений (172.1) величины определяются единственным образом. Свойство ортогональности главных форм колебаний позволяет очень просто решить уравнение {172.1) относительно .

Для этого умножим уравнение (172.1) на и просуммируем по индексу . Получим:

Переставим в двойной сумме порядок суммирования. В силу условий ортогональности и нормирования те суммы по которые относятся к неравным между собой k и s, обратятся в нули, при соответствующая сумма равна единице. В результате из всей двойной суммы останется один только член и мы получим:

(172.2)

Введенные нами координаты и, называются главными координатами системы.

Рассмотрим простой пример, в котором свойство ортогональности главных форм принимает наглядный смысл и введение главных координат становится естественным. Изображенная на рис. 261 рама несет груз на конце. Матрица коэффициентов влияния в этом случае будет такой:

Рис. 261.

Положим

Уравнение частот будет следующее:

Корни его:

Нормированные главные формы колебаний определяются величинами

или

Если через центр груза провести оси координат — горизонтальную ось и вертикальную ось величины будут компонентами по осям двух векторов , (рис. 261).

Ортогональность главных форм колебаний нужно понимать в это» случае буквально, как ортогональность соответствующих векторов.

Направим оси координат , по векторам, соответствующим главным формам колебаний. Для рассмотрения динамики системы оси координат более естественны, чем случайно выбранные оси координат по оси , происходят колебания с частотой по оси — с частотой . Произвольные колебательные движения груза естественно представлять как результат наложения колебаний с двумя разными частотами в двух главных направлениях.

По формулам (172.1) в рассматриваемом случае мы получаем:

Это не что иное, как формулы преобразования координат при переходе от осей к осям значит, главные координаты системы — это составляющие вектора перемещения по осям умноженные на постоянную величину .

В общем случае произвольной упругой системы главные координаты не находят такого простого и наглядного истолкования, если не прибегать к геометрической интерпретациипри помощи многомерного пространства. Однако значение их полностью сохраняется.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление