Главная > Физика > Сопротивление материалов (Работнов Ю.Н.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 174. Нижние оценки для частоты основного тона.

При рассмотрении определителя (171.1) коэффициент при неизвестной в старшей степени, а именно в степени , равен . Легко сообразить, чему будет равен следующий коэффициент, при . Если раскрыть определитель по элементам первого столбца или первой строки, то мы обязательно получим член , но аналогичные члены получаются при раскрытии определителя по элементам любой другой строки или столбца. Поэтому если уравнение частот имеет вид:

то

С другой стороны, коэффициент при втором по старшинству члене в алгебраическом уравнении равен сумме корней его с обратным знаком:

Отсюда

Выражение, заключенное в скобки, всегда положительно, поэтому справедливо неравенство

(174.1)

Рассматривая пример в § 170, мы убедились, что собственные частоты довольно сильно разнятся по величине, поэтому формула (174.1) может быть использована для приближенного определения первой собственной частоты. Обращаясь к числовым данным упомянутого примера, получим:

Полученная нижняя граница отличается от точного значения на 3,74%. Формула (174.1) (со знаком равенства вместо неравенства) была получена из эксперимента Дункерлеем в середине прошлого столетия.

Мы не будем останавливаться на многочисленных методах получения двухсторонних оценок для первой собственной частоты, а также для следующих частот; они излагаются в специальных руководствах по динамике сооружений.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление