Главная > Физика > Сопротивление материалов (Работнов Ю.Н.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 177. Колебания балок постоянного сечения.

Если жесткость постоянна, то уравнение (176.2) принимает следующий вид:

Для сокращения записи положим . Тогда

(177.1)

Корни характеристического уравнения будут поэтому общий интеграл уравнения (177.1) имеет вид:

(177.2)

В § 123 мы видели, какие преимущества дает использование частных решений с единичной матрицей начальных значений (А. Н. Крылов). Эти решения строятся с помощью общего интеграла (177.2):

Легко убедиться в том, что производная по х каждой из последующих функций равна предыдущей функции причем функции нужно расположить в круговом порядке так, что за функцией следует функция

Итак, общий интеграл уравнения (177.2) мы будем записывать следующим образом:

(177.3)

Рассмотрим теперь несколько примеров.

а) Балка, лежащая на двух опорах. На каждой опоре равны нулю прогиб и изгибающий момент: . Из граничного условия на левом конце при сразу следует, что .

Действительно, при все функции равны нулю, кроме , равной единице. Но при двукратном дифференцировании функция переходит в , следовательно, коэффициенты при должны обращаться в нуль. Используя остальные граничные условия, мы получим:

Теперь повторяется обычное рассуждение. Если определитель системы отличен от нуля, то следовательно, никаких колебаний не происходит. Если определитель равен нулю, а должно иметь совершенно определенное значение, а зная а, мы находим собственную частоту системы. Условие равенства нулю определителя будет следующим:

Отсюда

и либо либо . Первый случай исключается, так как гиперболический синус не имеет действительных нулей, кроме как в начале координат. Остается вторая возможность:

Вспоминая, что такое а, находим собственные частоты:

Следует заметить, что собственные частоты растут пропорционально квадрату номера, а не первой его степени, как это было в случае продольных колебаний.

В случае балки, лежащей на двух опорах, использование общего интеграла уравнения колебаний в форме (177.3) не очень оправдано; если обратиться к формуле (177.2), то видно, что граничным условиям задачи удовлетворяет последний член решения, если принять . Соответствующая главная форма:

Множитель перед синусом выбран так, чтобы было возможно условие нормирования.

б) Балка с одним заделанным и другим свободным концом. Помещая начало координат в заделке, получаем следующие граничные условия:

(в заделке равны нулю прогиб и угол наклона, на свободном конце изгибающий момент и перерезывающая сила).

Из условий в заделке следует, что из условий на свободном конце:

Уравнение частот:

или

Приводим шесть первых корней этого уравнения:

в) Балка с двумя свободными концами . Граничные условия: . Из двух первых граничных условий следует . Из двух других:

Уравнение частот:

или

Первые корни этого уравнения:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление