Главная > Физика > Сопротивление материалов (Работнов Ю.Н.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 40. Главные касательные напряжения.

Поставим теперь задачей разыскание тех площадок, на которых касательные напряжения принимают экстремальные значения. По формуле (39.5) получим:

Речь идет об отыскании экстремума функции в зависимости от направляющих косинусов . Последние связаны известным соотношением:

Таким образом, нужно решать задачу отыскания экстремума с дополнительным условием. Напомним, что если требуется найти экстремум функции при дополнительном условии то составляют уравнения:

Присоединяя сюда дополнительное условие, получим систему четырех уравнений для нахождения четырех неизвестных .

В нашем случае роль функции F играет , тогда как . Дифференцируя по получим:

Обращаясь к формуле (39.4), перепишем это выражение так:

Продифференцируем теперь дополнительное условие. Получим:

Производные по выразятся совершенно аналогично. В результате мы приходим к такой системе уравнений:

Здесь

Очевидное решение системы (40.2) есть

При этом из первого уравнения два другие удовлетворяются. Точно так же можно принять или . Эти решения не представляют для нас интереса; найденные площадки суть главные площадки, на них касательное напряжение равно нулю, а для неотрицательной величины нуль есть минимальное значение;

Предположим теперь, что отличны от нуля, сократим эти множители в первых двух уравнениях и вычтем одно из другого. Получим:

Отсюда

Следовательно, . Третье уравнение при этом выполняется. Соответствующая площадка проходит через ось и делит угол между плоскостями 13 и 23 пополам. По формуле (40.1) найдем, что при этом

Совершенно аналогичным образом получаем для экстремальные значения и на площадках, делящих пополам углы между плоскостями 21 и 31, 32 и 12.

Назовем экстремальные значения касательного напряжения главными касательными напряжениями:

Очевидно, что является наибольшим касательным напряжением, если .

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление