Главная > Физика > Сопротивление материалов (Работнов Ю.Н.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 44. Чистый сдвиг.

Прямоугольный параллелепипед, на грани которого действуют касательные напряжения, перекашивается. Первоначально прямые углы между гранями искажаются, как показано на рис. 53. Та величина, на которую изменился первоначально прямой угол между граням, называется углом сдвига или просто сдвигом и является мерой деформации, вызванной касательными напряжениями. Величина касательного напряжения связана с соответствующим сдвигом соотношением

Формула (44.1) по структуре вполне подобна формуле закона Гука для растяжения; выражаемый этой формулой закон носит название закона Гука при сдвиге. Величина G, имеющая размерность напряжения, называется модулем сдвига. Как оказывается, закон Гука при сдвиге не является выражением нового экспериментального факта; формула (44.1) вытекает из закона Гука для растяжения, и величина G выражается через ранее введенные упругие постоянные Е и v. Поэтому, если для растяжения, формулы закона Гука были выражением опытной зависимости, для сдвига формулу (44.1) можно вывести.

Рис. 53.

Чистым сдвигом называется такое плоское напряженное состояние, когда на граии элемента действуют только касательные напряжения (рис. 53). Как мы зиаем, всякое напряженное состояние приводится к растяжению — сжатию по взаимно перпендикулярным направлениям. Положим . Тогда по формулам (46.7) и (46.8)

Итак, если осуществить плоское напряженное состояние, в котором главные напряжения равны по величине и противоположны по знаку, то элемент, стороны которого составляют углы по 45° с главными осями, будет находиться в условиях чистого сдвига.

Рис. 54.

Возьмем этот элемент в форме квадрата с диагональю 2а (рис. 54). Вследствие деформации квадрат превратится в ромб, изображенный на той же фигуре. Относительное удлинение вертикальной диагонали:

Относительное укорочение горизонтальной диагонали:

В треугольнике АОВ катеты будут:

Вычислим гипотенузу:

Члены второго порядка малости под радикалом не написаны. Но , таким образом,

с точностью до величин порядка квадрата деформации. Итак, стороны элемента, находящегося в условиях чистого сдвига, не изменяют длины.

Если изменение первоначально прямого угла есть , то угол при вершине А в треугольнике АОВ есть . Тангенс этого угла равен отношению катетов:

Воспользуемся формулой для тангенса суммы двух углов. При этом, ввиду малости деформации сдвига, будем считать

Получим:

С другой стороны,

Отсюда с точностью до малых высшего порядка

Внесем в (44.2) вместо , найденные для них значения. Получим:

Сравнив это с (44.1), найдем:

Величина G не может быть отрицательной, так как в противном случае касательные усилия производили бы отрицательную работу. Поэтому

Вспоминая первую оценку для V, полученную в предыдущем параграфе, имеем:

В действительности неизвестны материалы, для которых v отрицательно.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление