Главная > Физика > Сопротивление материалов (Работнов Ю.Н.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 81. Конечная деформация.

Пока деформация мала, определение деформации не зависит от того, относить ли ее к начальной длине или к конечной. Действительно, пусть отрезок сначала имел, длину потом его длина стала . Обычное определение относительной деформации будет следующее:

Вычислим теперь деформацию, отнесенную к конечной длине!

Но , следовательно,

Разница между является малой второго порядка, и ею можно пренебречь, если . Для больших деформаций не безразлично, к какой именно длине их относить.

Представим себе процесс удлинения отрезка, имевшего первоначальную длину как последовательность этапов деформирования, на каждом из которых длина получает приращение . Относительное удлинение на каждом этапе мы будем относить к той длине, которую имел отрезок в начале соответствующего этапа:

Примем за меру полного удлинения сумму бесконечно малых относительных удлинений при изменении длины от до а именно:

Величина называется логарифмическим удлинением. Она удобна для описания процесса конечной деформации по следующим двум причинам:

1. Представим себе, что деформация производится ступенями. К началу ступени номера k длина была она увеличивается до . Соответствующая логарифмическая деформация!

Суммарная деформация после ступеней:

2. Скорость деформации представляет собою отношение скорости абсолютного удлинения к длине.

Пока деформация мала, можно считать, что но для конечных деформаций это неверно. Действительно, по определению тогда как . Но таким образом, скорость деформации равна производной от логарифмической деформации по времени.

Деформация элементарного параллелепипеда, ребра которого направлены по главным осям тензора напряжений, определяется заданием трех удлинений: . Условие несжимаемости справедливо лишь для малых деформаций. Обозначим ребра параллелепипеда через ; в начальном состоянии они равны . Введем главные логарифмические удлинения:

Сумма их:

Здесь V — объем параллелепипеда, — его первоначальный объем. Таким образом, условие Несжимаемости для логарифмических деформаций такое же, как и для обычных малых деформаций, но является совершенно точным.

Вопрос о выборе меры деформации для конечных деформаций является скорее вопросом удобства, поскольку обычная деформация и логарифмическая деформация связаны между собою однозначной зависимостью. Для материалов с большими упругими деформациями, например каучука, за меру деформации часто принимают так называемую кратность, то есть отношение новой длины к первоначальной. Обозначая ее буквой , получаем:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление