Главная > Физика > Сопротивление материалов (Работнов Ю.Н.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА VII. КРУЧЕНИЕ

§ 87. Кручение стержней круглого сечеиия.

Кручением называют напряженное состояние в стержне, находящемся под действием моментов, направленных по его оси. Общая теория кручения принадлежит математической теории упругости и не может быть построена элементарным путем. Поэтому мы ограничиваемся здесь результатами, относящимися к стержням круглого сечения и тонкостенным стержням. Данные о кручении стержней иного профиля приводятся без доказательств.

В основу теории кручения круглого стержня положим следующие предположения:

1. В поперечных сечениях стержня не возникает иных напряжений, кроме касательных.

2. Поперечные сечения поворачиваются без искривления радиусов, оставаясь плоскими.

Рис. 120.

Выделим из стержня трубку с внутренним радиусом q и бесконечно малой толщиной (рис. 120). Касательные напряжения в поперечном сечении этой трубки можно считать распределенными равномерно. Возьмем два бесконечно близких сечения на расстоянии Вследствие закручивания они повернутся одно относительно другого на угол , здесь — погонный угол закручивания трубки, или угол закручивания на единицу длины. Бесконечно малый элемент претерпит сдвиг, причем . Но , поэтому

Прибегая к формуле Гука для касательных напряжений, найдем величину :

Вследствие второй гипотезы для всех трубок, из которых можно мыслить составленным стержень, величина является одной и той же. Таким образом, касательные напряжения в сечениях изменяются пропорционально расстоянию от оси.

Рассмотрим теперь равновесие части стержня, мысленно от него отсеченной (рис. 121). На элемент отстоящий на расстояние Q от центра, действует напряжение следовательно, элементарный момент в правом сечении будет

Рис. 121.

Составляя условие равновесия моментов относительно оси стержня (М — величина момента, приложенного в левом сечении), получим:

Распространенный по площади интеграл от носит название полярного момента инерции и обозначается

Для вычисления заметим, что в полярных координатах поэтому

В технике обычно предпочитают иметь дело не с радиусом стержня, а с его диаметром d и записывают формулу для полярного момента инерции так:

Итак, мы нашли:

Отсюда основная формула для погонного (на единицу длины) угла закручивания:

Подставляя найденное выражение О в формулу (87.1) для , получим вторую основную формулу теории кручения круглых стержней:

Следует отметить, что гипотезы и весь вывод сохраняют силу также для стержня круглого трубчатого сечения. Единственная разница будет состоять в том, что при вычислении полярного момента инерции интеграл придется брать по площади кольца. Если наружный диаметр полого стержня есть d, а внутренний то, очевидно,

Величина наибольшего касательного напряжения при крученин найдется по формуле (87.5), если принять в ней Соответствующую формулу пишут обычно так:

Величина называется полярным моментом сопротивления. Для сплошного цилиндра

для полого цилиндра

Расчет на прочность по допускаемым напряжениям при крученин сводится к обеспечению неравенства

Величина допускаемого напряжения при кручении для пластических материалов должна быть принята согласно гипотезе октаэдрического напряжения равной , а согласно условию Треска равной

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление