Главная > Физика > Сопротивление материалов (Работнов Ю.Н.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 89. Гипотеза жесткого контура.

Гипотеза о сохранении плоских сечений, принятая за основу теории кручения круглого стержня, неприменима для других сечений. Действительно, если применить выведенные на основе ее формулы (87.4) и (87.5) к стержню, сечение которого отлично от круглого, мы придем к явно неверным выводам. При равной площади круг имеет меньший полярный момент инерции, чем, например, вытянутый прямоугольник, и поэтому в силу формулы (87.4) стержень пряугольного сечения должен быть более жестким. Повседневный опыт показывает как раз обратное. Сплошная труба и труба, разрезанная вдоль образующей, обладают одинаковыми моментами инерции, и в то же время разрезанная труба имеет гораздо меньшую жесткость. Из гипотезы плоских сечений следует, что вектор касательного напряжения всюду перпендикулярен радиусу, а это противоречит следующей общей теореме:

Вектор касательного напряжения в точках контура направлен по касательной к контуру.

Выделим бесконечно малую площадку в поперечном сечении и предположим, что вектор касательного напряжения на этой площадке имеет две составляющие: по касательной к контуру и по нормали (рис. 123). Напряжению соответствует по закону парности касательное напряжение на перпендикулярной площадке S, притом такой, что линия пересечения площадок перпендикулярна направлению . Эта линия есть дуга контура, и площадка принадлежит боковой поверхности стержня.

Рис. 123.

Но боковая поверхность стержня свободна от усилий, а следовательно, равно нулю напряжение .

Из доказанной теоремы вытекает следствие:

В точке контура, образующей выступающий угол, касательное напряжение равно нулю.

Действительно, предположим противное и разложим вектор касательного напряжения на две компоненты, нормальные к пересекающимся дугам. На основании предыдущей теоремы каждая из этих компонент равна нулю.

Отсюда следует, например, что в вершинах сечения стержня, имеющего форму прямоугольника, напряжения равны нулю. Формула (87.5), наоборот, дает для этих точек, как для наиболее удаленных, самые большие напряжения, чем доказывается ее непригодность.

Для некруглых стержней гипотеза нормальных элементов заменяется гипотезой о жестком контуре.

Согласно этой гипотезе деформация при кручении может быть разбита на две части. Сначала сечение поворачивается как жесткое целое. Потом точки сечения получают перемещения, Направленные вдоль оси стержня. Если смотреть на стержень вдоль его оси, то последние перемещения увидеть нельзя; мы видим только поворот контура как жесткого целого, отсюда и название гипотезы.

Величина перемещения точки вдоль оси зависит только от ее положения в сечении, но не меняется при переходе от одного сечения к другому. В противном случае продольные элементы стержня претерпевали бы изменение длины, а следовательно, кроме напряжений кручения возникали бы нормальные напряжения растяжения и сжатия.

Иначе обстоит дело тогда, когда на стержень наложены связи, препятствующие свободной деформации его поперечных сечений, например, тонкостенный стержень снабжен жесткими диафрагмами. При таком стесненном кручении кроме обычных напряжений кручения возникаю другие напряжения. Теория стесненного вручения будет рассмотрена в главе XI.

Следует заметить, что гипотеза жесткого контура принимается для нестесненного кручения и математической теорией упругости, которая доказывает ее правильность.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление