Главная > Физика > Сопротивление материалов (Работнов Ю.Н.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 91. Кручение тонкостенных стержней открытого профиля.

Аналогия между распределением напряжений при кручении и течением жидкости в плоском сосуде, имеющем форму поперечного сечения стержня в плане, позволяет легко составить качественную картину распределения напряжений при кручении тонкостенного стержня открытого профиля (рис. 129).

Рис. 129.

Траектория жидкой частицы или линия тока в сосуде такой формы представляют собою замкнутую кривую, почти параллельную стенке на большей части длины (части на рис. 129). Поворот потока происходит на отрезках линии тока , малых по сравнению с . Пренебрегаем влиянием концов сечения (на рисунке отделены волнистыми линиями) и будем приближенно считать

Здесь I — длина профиля. По аналогии замкнутую линию, в каждой точке которой вектор касательного напряжения направлен по касательной, будем называть траекторией касательных напряжений.

Теорема о циркуляции, установленная в предыдущем параграфе, может быть применена не только к стержню замкнутого профиля, но и к любой траектории касательных напряжений. Применим ее к траектории . При вычислении интеграла, входящего в формулу (90.4), пренебрегаем частями траектории и будем считать напряжение постоянным на дугах . Тогда

Площадь F, ограниченная линией тока, с той же степенью точности есть

Поэтому по формуле (90.4)

Отсюда

(91.1)

Здесь у — расстояние точки, в которой ищется касательное напряжение, от средней линии профиля.

Осталось связать погонный угол закручивания Ф с крутящим моментом М. Возьмем две бесконечно близкие линии тока, отстоящие на одна от другой. Заключенная между ними часть сечения может рассматриваться как бесконечно тонкий стержень замкнутого профиля, который принимает на себя бесконечно малую часть крутящего момента . Применим к нему формулу (90.5):

Но, как мы уже видели,

Поэтому

Чтобы подсчитать полный момент, нужно проинтегрировать это выражение от до . Получим:

Определяя величину Ф из (91.2) и подставляя в формулу (91.1), найдем:

Наибольшей величины напряжение достигает там, где . Поэтому

Формулы (91.2) и (91.3) выведены в предположении, что профиль весьма тонкий и 6 очень мало по сравнению с длиной профиля l.

Только при этом условии можно пренебречь концами, длина которых имеет порядок ; значит, эта длина зависит только от толщины , но не от размера Поэтому с увеличением l (при постоянном ) роль концов становится все менее значительной. Кроме того, профиль предполагается плавным, радиус кривизны его должен быть велик по сравнению с размером . В действительности профили обычно составляются из элементов разной длины и ширины, сопрягающихся с образованием углов. В местах сопряжения элементов возникают местные перераспределения напряжений. Природу их можно уяснить, обращаясь к гидродинамической аналогии. При обтекании углов или при резких изменениях сечения распределение скоростей всегда неравномерно. Однако возмущенная зона, или область местных напряжений, простирается на длину порядка от места сопряжения элементов профиля. Поэтому, если толщина стенки достаточно мала по сравнению с длинами элементов, составляющих профиль, можно пренебречь этими местными напряжениями и считать, что каждый элемент закручивается отдельно. По формуле (91.2) на элемент номер с длиной и толщиной приходится момент

Общий крутящий момент равен сумме таких частных моментов, или

Отсюда

Теперь можно определить часть момента, приходящуюся на элемент номер

Наибольшее напряжение в элементе номер по формуле (91.3) есть

Наибольшее расчетное напряжение получается при этом в стержне, имеющем наибольшую толщину:

Формулы (91.4) и (91.5) не являются точными, так как в действительности отношение всегда конечно. Незначительные поправки, которые нужно вносить в эти формулы при расчете реальных профилей, можно найти в справочной литературе.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление