Главная > Физика > Курс общей физики, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 54. Маятник

В физике под маятником понимают твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной точки или оси. Принято различать математический и физический маятники.

Математическим маятником называют идеализированную систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке. Достаточно хорошим приближением к математическому маятнику служит небольшой тяжелый шарик, подвешенный на длинной тонкой нити.

Отклонение маятника от положения равновесия будем характеризовать углом образованным нитью с вертикалью (рис. 54.1). При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращательный момент N, равный по величине — масса, a l — длина маятника). Он имеет такое направление, что стремится вернуть маятник в положение равновесия, и аналогичен в этом отношении квазиупругой силе. Поэтому так же, как смещению и квазиупругой силе, моменту N и угловому смещению нужно приписывать противоположные знаки 1). Следовательно, выражение для вращательного момента имеет вид

Напишем для маятника уравнение динамики вращательного движения. Обозначив угловое ускорение через и учитывая, что момент инерции маятника равен получаем:

Последнее уравнение можно привести к виду

(54.2)

Рис. 54.1.

Ограничимся рассмотрением малых колебаний. В этом случае можно положить Введя, кроме того, обозначение

придем к уравнению

к зторое идентично с уравнением (53.1). Его решение имеет вид

Следовательно, при малых колебаниях угловое отклонение математического маятника изменяется со временем по гармоническому закону.

Как следует из (54.3), частота колебаний математического маятника зависит только от длины маятника и от ускорения силы тяжести и не зависит от массы маятника. По формуле (53.8) с учетом (54.3) получается известное из школьного курса выражение для периода колебаний математического маятника:

Отметим, что, решив уравнение (54.2), можно найти для периода колебаний следующую формулу:

где а — амплитуда колебаний, т. е. наибольший угол, на который отклоняется маятник из положения равновесия.

Если колеблющееся тело нельзя представить как материальную точку, маятник называется физическим. При отклонении маятника от положения равновесия на угол возникает вращательный момент, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия. Этот момент равен

где m — масса маятника, а l — расстояние между точкой подвеса О и центром масс С маятника (рис. 54.2). Знак «—» имеет то же значение, что и в случае формулы (54.1).

Обозначив момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса, буквой I, можно написать:

В случае малых колебаний (54.8) переходит в уже известное нам уравнение:

Через обозначена в данном случае следующая величина:

(54.10)

Из уравнений (54.9) и (54.10) следует, что при малых отклонениях от положения равновесия физический маятник совершает гармонические колебания, частота которых зависит от массы маятника, момента инерции маятника относительно оси вращения и расстояния между осью вращения и центром масс маятника. В соответствии с (54.10) период колебаний физического маятника определяется выражением

(54.11)

Из сопоставления формул (54.6) и (54.11) получается, что математический маятник с длиной

(54.12)

будет иметь такой период колебаний, как и данный физический маятник. Величину (54.12) называют приведенной длиной физического маятника. Таким образом, приведенная длина физического маятника — это длина такого математического маятника, период колебании которого совпадает с периодом данного физического маятника.

Точка на прямой, соединяющей точку подвеса с центром масс, лежащая на расстоянии приведенной длины от оси вращения, называется центром качания физического маятника (см.точку О на рис. 54.2).

Можно показать (рекомендуем это сделать в порядке упражнения), что при подвешивании маятника в центре качания О приведенная длина, а значит, и период колебаний будут теми же, что и вначале. Следовательно, точка подвеса и центр качания обладают свойством взаимности: при переносе точки подвеса в центр качания прежняя точка подвеса становится нозым центром качания.

На этом свойстве основано определение ускорения свободного падения с помощью так называемого оборотного маятника. Оборотным называется такой маятник, у которого имеются две параллельные друг другу, закрепленные вблизи его концов опорные призмы, за которые он может поочередно подвешиваться. Вдоль маятника могут перемещаться и закрепляться на нем тяжелые грузы. Перемещением грузов добиваются того, чтобы при подвешивании маятника за любую из призм период колебаний был одинаков. Тогда расстояние между опорными ребрами призм будет равно Измерив период колебаний маятника и зная можно по формуле

найти ускорение свободного падения .

Рис. 54.2.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление