Главная > Физика > Курс общей физики, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 56. Биения

Особый интерес представляет случай, когда два складываемых гармонических колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. Как мы сейчас покажем, результирующее движение при этих условиях можно рассматривать как гармоническое колебание с пульсирующей амплитудой. Такое колебание называется биениями.

Обозначим частоту одного из колебаний буквой , частоту второго колебания через По условию .

Амплитуды обоих колебаний будем полагать одинаковыми и равными а. Чтобы не усложнять без надобности формул, допустим, что начальные фазы обоих колебаний равны нулю. Тогда уравнения колебаний будут иметь следующий вид:

Складывая эти выражения и применяя тригонометрическую формулу для суммы косинусов, получаем:

(во втором множителе пренебрегаем членом по сравнению с со).

Рис. 56.1.

График функции (56.1) изображён на рис. 56.1, а. График построен для .

Заключенный в скобки множитель в формуле (56.1) изменяется гораздо медленнее, чем второй множитель. Ввиду условия за то время, за которое множитель совершает несколько полных колебаний, множитель, стоящий в скобках, почти не изменится. Это дает нам основание рассматривать колебание (56.1) как гармоническое колебание частоты амплитуда которого изменяется по некоторому периодическому закону. Выражением этого закона не может быть множитель, стоящий в скобках, так как он изменяется в пределах от до в то время как амплитуда по определению — положительная величина. График амплитуды показан на рис. 56.1, б.

Рис. 56.2.

Аналитическое выражение амплитуды, очевидно, имеет вид

Функция (56.2) — периодическая функция с частотой, в 2 раза превышающей частоту выражения, стоящего под знаком модуля (см. рис. 56.2, на котором сопоставлены графики косинуса и его модуля), т. е. с частотой Таким образом, частота пульсаций амплитуды — ее называют частотой биений — равна разности частот складываемых колебаний.

Отметим, что множитель не только определяет амплитуду, но и влияет на фазу колебания. Это проявляется, например, в том, что отклонения, соответствующие соседним максимумам амплитуды, имеют противоположные знаки (см. точки на рис. 56.1, а).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление