Главная > Физика > Теоретическая физика. Т. X. Физическая кинетика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 34. Релаксация начального возмущения

Рассмотрим задачу о решении кинетического уравнения с самосогласованным полем при заданных начальных условиях (Л. Д. Ландау, 1946). Мы ограничимся случаем чисто потенциального электрического поля при равном нулю магнитном поле и предположим, что возмущению подвергается только электронное распределение при неизменном распределении ионов.

Будем также считать, что начальное возмущение мало: начальная функция распределения электронов

где — равновесное (максвелловское) распределение, Возмущение остается, конечно, малым и в дальнейшие моменты времени, так что уравнения можно линеаризовать; ищем функцию распределения в виде

Для малой поправки и для потенциала самосогласованного поля (величина того же порядка малости) находим систему уравнений, составленную из кинетического уравнения

и уравнения Пуассона

(равновесный электронный заряд компенсирован зарядом ионов).

Поскольку эти уравнения линейны и не содержат координат в явном виде, то искомые функции можно разложить в интеграл Фурье по координатам и написать уравнения для каждой из их фурье-компонент в отдельности. Другими словами, достаточно рассматривать решения вида

Для таких решений уравнения (34,3-4) принимают вид

Для решения этих уравнений удобно воспользоваться односторонним преобразованием Фурье, определив образ функции как

Обратное преобразование дается формулой

где интеграл берется в комплексной плоскости по прямой, параллельной вещественной оси и проходящей над ней выше всех особенностей функции

Умножаем обе стороны уравнения (34,6) на и интегрируем по t. Заметив, что

и разделив обе стороны уравнения на ), находим

(34,10)

Аналогичным образом, из (34,7) получим

(34,11)

Подставив из (34,10) в (34,11), получим уравнение уже для одного только из него найдем

где введена продольная диэлектрическая проницаемость согласно (29,9). Снова (как и в § 29) введя составляющую импульса вдоль направления к, перепишем эту формулу в виде

(34.13)

где

Для дальнейшего определения временной зависимости потенциала по формуле обращения

(34,14)

необходимо предварительно установить аналитические свойства как функции комплексной переменной со.

Выражение вида

как функция комплексной переменной со имеет смысл лишь в верхней полуплоскости. То же относится соответственно и к выражению (34,13). Интегрирование в (34,13) производится по пути (вещественная ось ), проходящему ниже полюса Мы видели в § 29, что определяемая таким интегралом функция переменной со при ее аналитическом продолжении в нижнюю полуплоскость имеет особенности лишь в точках, совпадающих с особыми точками функции Будем считать, что как функция комплексной переменной есть целая функция (т. е. не имеет никаких особенностей при конечных ); тогда и рассматриваемый интеграл определяет целую функцию со.

В § 31 было отмечено, что проницаемость максвелловской плазмы тоже целая функция . Таким образом, аналитическая во всей плоскости функция есть частное двух целых функций. Отсюда следует, что единственными особенностями (полюсами) функции являются нули ее знаменателя, т. е. нули функции

Эти соображения позволяют установить асимптотический закон убывания потенциала при больших временах t. В формуле обращения (34,14) интегрирование производится по горизонтальной прямой в плоскости со. Однако, понимая под определенную указанным образом во всей плоскости аналитическую функцию, мы можем сместить путь интегрирования в нижнюю полуплоскость так, чтобы не пересечь при этом ни одного из полюсов функции.

Рис. 9.

Пусть — тот из корней уравнения который обладает наименьшей по величине мнимой частью (т. е. ближайший к вещественной оси). Будем производить интегрирование в (34,14) по пути, смещенному достаточно далеко под точку и огибающему эту точку (а также и другие полюсы, лежащие сверху от него) указанным на рис. 9 образом. Тогда в интеграле будет существен (при больших t) только вычет относительно полюса остальные части интеграла, в том числе интеграл по горизонтальной части пути, будут экспоненциально малы по сравнению с указанным вычетом благодаря наличию в подынтегральном выражении множителя быстро убывающего при увеличении Таким образом, асимптотический закон убывания потенциала дается выражением

(34,15)

т. е. с течением времени возмущение поля затухает экспоненциально с декрементом .

Для длинноволновых возмущений частота и декремент совпадают с таковыми для плазменных волн и даются формулами (32,5-6). Декремент затухания таких возмущений экспоненциально мал.

В обратном же случае коротковолновых возмущений, когда , затухание становится очень сильным; декремент даже велик по сравнению с .

Наконец, остановимся на свойствах самой функции распределения электронов. Искомая функция получается подстановкой (34,10) в интеграл (34,9). Помимо полюсов в нижней полуплоскости, происходящих от подынтегральное выражение имеет также полюс в точке на вещественной оси. Именно этот полюс и будет определять асимптотическое поведение интеграла при больших t. По вычету в нем находим

(34,16)

Таким образом, возмущение функции распределения не затухает с течением времени. Распределение становится, однако, все более быстро осциллирующей функцией скорости (период осцилляций по скорости ). Поэтому возмущение плотности (т. е. интеграл ) затухает, как и потенциал

Эволюция функции распределения согласно (34,16) относится ко времени, когда поле можно считать затухшим; формула (34,16) соответствует просто свободному разлету частиц каждая со своей постоянной скоростью. Действительно, функция вида

(34,17)

есть решение кинетического уравнения свободных частиц

(34,18)

при заданном начальном распределении по скоростям и периодическом распределении по координатам.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление