§ 46. Сходящийся интеграл столкновений

Кинетическое уравнение с интегралом столкновений Ландау позволяет решать задачи физики плазмы лишь с логарифмической точностью: большой аргумент кулоновского логарифма не вполне определен. Эта неопределенность связана с расходимостью интегралов на больших и малых углах рассеяния. Как уже указывалось, расходимость на больших углах не имеет принципиального характера: она появляется лишь в результате произведенного при выводе разложения по степеням передаваемого импульса q; в самом интеграле столкновений Больцмана эта расходимость отсутствует. Расходимость же на малых углах возникает в результате неучета экранирующего действия плазмы на взаимное рассеяние частиц в ней. Для вычисления интеграла столкновений с более высокой, чем логарифмическая, точностью необходимо последовательно учитывать экранирование с самого начала (а не только при определении области интегрирования в кулоновском логарифме).

В § 41 было уже указано, что условия применимости интеграла столкновений с экранированным взаимодействием между заряженными частицами требуют, чтобы функции распределения мало менялись за времена и на расстояниях а. Эти же условия позволяют рассматривать экранировку зарядов макроскопическим образом как результат диэлектрической поляризации плазмы.

Мы рассмотрим поставленную задачу в двух предельных случаях: 1) когда к столкновениям частиц применимо квантовомеханическое борновское приближение и 2) когда процесс столкновения квазиклассичен.

Борновский случай

Начнем с первого случая, имеющего место при условии

Влияние, оказываемое диэлектрической средой на рассеяние частиц, наиболее ясным образом формулируется на языке диаграммной техники. В борновском приближении рассеяние двух частиц описывается (в нерелятивистском случае) диаграммой

где пунктирной линии отвечает функция -компонента Фурье кулоновского потенциала единичного заряда (-передаваемый при рассеянии импульс). Наличие среды сказывается лишь в замене этой функции на компоненту потенциала в среде где -тензор диэлектрической проницаемости среды, причем совпадает с передаваемой энергией (ср. IX, § 85). Соответственно и в амплитуде рассеяния появится дополнительный множитель а в сечении — квадрат его модуля. Таким образом,

Для простоты мы будем предполагать далее плазму изотропной.

Для такой плазмы тензор сводится к двум скалярам причем в произведение

входит только один из них; мы будем опускать индекс подразумевая под продольную проницаемость.

Таким образом, сечение рассеяния принимает вид

где — обычное резерфордовское сечение для рассеяния в пустоте. Отметим также, что передаваемая при столкновении энергия связана с передачей импульса равенством

где - скорость центра инерции сталкивающихся частиц. Величина же вектора q связана с углом рассеяния в системе центра инерции обычной формулой

где .

Интеграл столкновений, автоматически правильно учитывающий большие и малые углы рассеяния и свободный от расходимости, получается подстановкой (46,4) в обычный больцмановский интеграл:

суммирование производится по всем родам частиц, к которым относятся штрихованные величины.

Кинетическое уравнение с интегралом столкновений (46,7) очень сложно не только в силу невозможности разложения подынтегрального выражения по степеням q, но и ввиду того, что диэлектрическая проницаемость плазмы сама определяется через искомые функции распределения. Существенное упрощение достигается лишь в случае слабого отклонения от равновесия, когда допустима линеаризация кинетического уравнения. Тогда проницаемость должна вычисляться с равновесными функциями распределения и, таким образом, не зависит от искомых поправочных функций.

Квазиклассический случай

Перейдем к обратному предельному случаю, когда

и для рассеяния частиц применимо квазиклассическое приближение. В этом случае нельзя учесть влияние среды на рассеяние единым образом при малых и больших углах рассеяния (как это было возможным в борновском случае); поэтому придется рассмотреть эти две области отдельно и затем «сшить» результаты при промежуточных углах.

Поле заряда , движущегося со скоростью v в диэлектрической среде, определяется уравнением

В компонентах Фурье находим отсюда для потенциала поля:

При малых углах рассеяния изменение импульса частицы дается (см. I, § 20) классической формулой

(46,10)

где - энергия взаимодействия двух частиц, а интегрирование производится вдоль прямолинейной траектории ( — вектор прицельного расстояния). Выразив энергию в виде интеграла Фурье

(причем ) и подставив в (46,10), получим

Внутренний интеграл дает где - проекция вектора k на направление . Устранив затем -функцию интегрированием до , найдем

где (как и ) - двумерный вектор в плоскости, перпендикулярной При этом и частота

(46,13)

Ниже в этом параграфе мы будем опускать индекс подразумевая везде под к указанный двумерный вектор.

Вычислим теперь с помощью (46,12) величины

(46,14)

входящие в интеграл столкновений, разложенный по степеням малого q (сечение в (41,4) написано здесь в виде прицельной площади Написав произведение двух интегралов (46,12) в виде двойного интеграла (по ), выполняем интегрирование по согласно

После этого интегрирование по просто устраняет -функцию и остается

(46,15)

(здесь использовано также, что согласно (28,9) Эти интегралы уже сходятся при малых к (поскольку при ).

В (46,15) входит проницаемость при отличной от нуля частоте имея в виду это обстоятельство, иногда говорят, что эта формула учитывает эффект динамического экранирования.

Обратим внимание на зависимость подынтегрального выражения в (46,15) от направления V через аргумент функции е. Эта зависимость исчезает при вычислении интеграла в логарифмическом приближении, когда интегрирование ограничивается областью от к до к ее Основную роль в интеграле играют значения k, далекие от обоих этих пределов; в этой области значений имеем и интеграл сводится к

Усредняя подынтегральное выражение по всем направлениям к в плоскости, перпендикулярной мы вернемся к прежнему выражению (41,8) с .

Для устранения расходимости при больших передачах импульса надо, как уже указывалось, произвести «сшивку» разложенного по степеням q интеграла столкновений с неразложенным интегралом (J. Hubbard, 1961; О. Аоnо, 1962).

Рассмотрим разность

(46,16)

где есть искомый сходящийся интеграл столкновений, дается выражением (46,7), которое в борновском случае представляет собой правильный интеграл столкновений, но здесь играет лишь вспомогательную роль.

Разделим весь интервал изменения угла рассеяния на две области:

причем выбрано так, что

(46,17)

При классическом рассеянии на малые углы в кулоновском поле, угол рассеяния связан с прицельным расстоянием соотношением

Поэтому значению отвечает (при условии (46,17)) значение так что на этом расстоянии экранировка несущественна и рассеяние действительно можно считать чисто кулоновским. То же самое относится и ко всей области Сечение рассеяния в этой области будет, следовательно, резерфордовским, и соответствующий вклад в интеграл столкновений есть

Но точно таков же вклад области интеграл (46,7): в этой области причем в силу условия (46,8)

и потому в (46,7) можно положить

Таким образом, вклад в разность (46,16) возникает только от области которую и остается рассмотреть.

Во всей этой области передача импульса мала, так что интеграл столкновений можно разлагать по степеням q. Входящие в разложенный величины вычисляются как интегралы (46.14) с q из (46,12). Вклад в эти интегралы от области равен

где в качестве пределов в двойных интегралах (по ) условно указаны пределы по и k. Перепишем величины тождественным образом в виде

(46,19)

Первый член в (46,19), будучи преобразован как при выводе (46.15), дает в (46,18) вклад

Это выражение как раз совпадает с тем, которое получилось бы при разложении интеграла (46,7), взятого по области в интересующую нас разность (46,16) оно, следовательно, не дает вклада.

Для преобразования остальных членов в (46,19) замечаем, что в их подынтегральных выражениях можно положить интегралы остаются при этом сходящимися, и их значения определяются областью в которой и потому . Существенно также, что в силу условия (46,8) параметр

(46,20)

поэтому надо сохранить только члены, остающиеся конечными при . В этом пределе третий и четвертый члены в (46,19) обращаются в нуль. Таким образом, остается лишь

(46,21)

где индексы «кл» и «Б» указывают, что значения относятся соответственно к разложениям интегралов

Каждый из двух интегралов по направлен вдоль вектора ; после интегрирования по этим направлениям (в плоскости, перпендикулярной ) получим для разности (46,21) взятое с обратным знаком выражение вида (41,8) с

Воспользовавшись известным интегральным представлением функций Бесселя и равенством переписываем этот интеграл в виде

или, после интегрирования по частям,

Здесь учтено, что параметр (уже не содержащий вспомогательной величины ) велик; соответственно этому заменен бесконечностью верхний предел в оставшемся интеграле, а в первом члене положено

С помощью значений

(где C = 0,577... — постоянная Эйлера; ) и с учетом (46,20) окончательно найдем

(46,22)

Подводя итог произведенным вычислениям, приходим к результату, что в квазиклассическом случае лишенный расходимостей интеграл столкновений может быть представлен в виде

(46,23)

где дается формулой (46,7), а - интеграл столкновений Ландау с кулоновским логарифмом (46,22). Подчеркнем, что в последнем |v-v'| - точная переменная величина, а не среднее значение иотн.

В силу сделанных при выводе пренебрежений, этот результат справедлив, конечно, лишь с «улучшенной логарифмической точностью»: кинетическое уравнение с интегралом столкновений (46,23) позволяет улучшить точность вычислений лишь в смысле определения точного коэффициента в аргументе большого логарифма (с этой точностью, разумеется, из всех ответов выпадает играющее в (46,23) лишь роль вспомогательного параметра).