Макеты страниц § 46. Сходящийся интеграл столкновенийКинетическое уравнение с интегралом столкновений Ландау позволяет решать задачи физики плазмы лишь с логарифмической точностью: большой аргумент кулоновского логарифма не вполне определен. Эта неопределенность связана с расходимостью интегралов на больших и малых углах рассеяния. Как уже указывалось, расходимость на больших углах не имеет принципиального характера: она появляется лишь в результате произведенного при выводе разложения по степеням передаваемого импульса q; в самом интеграле столкновений Больцмана эта расходимость отсутствует. Расходимость же на малых углах возникает в результате неучета экранирующего действия плазмы на взаимное рассеяние частиц в ней. Для вычисления интеграла столкновений с более высокой, чем логарифмическая, точностью необходимо последовательно учитывать экранирование с самого начала (а не только при определении области интегрирования в кулоновском логарифме). В § 41 было уже указано, что условия применимости интеграла столкновений с экранированным взаимодействием между заряженными частицами требуют, чтобы функции распределения мало менялись за времена Мы рассмотрим поставленную задачу в двух предельных случаях: 1) когда к столкновениям частиц применимо квантовомеханическое борновское приближение и 2) когда процесс столкновения квазиклассичен. Борновский случай Начнем с первого случая, имеющего место при условии
Влияние, оказываемое диэлектрической средой на рассеяние частиц, наиболее ясным образом формулируется на языке диаграммной техники. В борновском приближении рассеяние двух частиц описывается (в нерелятивистском случае) диаграммой
где пунктирной линии отвечает функция
Для простоты мы будем предполагать далее плазму изотропной. Для такой плазмы тензор
входит только один из них; мы будем опускать индекс Таким образом, сечение рассеяния принимает вид
где
где
где Интеграл столкновений, автоматически правильно учитывающий большие и малые углы рассеяния и свободный от расходимости, получается подстановкой (46,4) в обычный больцмановский интеграл:
суммирование производится по всем родам частиц, к которым относятся штрихованные величины. Кинетическое уравнение с интегралом столкновений (46,7) очень сложно не только в силу невозможности разложения подынтегрального выражения по степеням q, но и ввиду того, что диэлектрическая проницаемость плазмы сама определяется через искомые функции распределения. Существенное упрощение достигается лишь в случае слабого отклонения от равновесия, когда допустима линеаризация кинетического уравнения. Тогда проницаемость должна вычисляться с равновесными функциями распределения и, таким образом, не зависит от искомых поправочных функций. Квазиклассический случайПерейдем к обратному предельному случаю, когда
и для рассеяния частиц применимо квазиклассическое приближение. В этом случае нельзя учесть влияние среды на рассеяние единым образом при малых и больших углах рассеяния (как это было возможным в борновском случае); поэтому придется рассмотреть эти две области отдельно и затем «сшить» результаты при промежуточных углах. Поле заряда
В компонентах Фурье находим отсюда для потенциала поля:
При малых углах рассеяния изменение импульса частицы дается (см. I, § 20) классической формулой
где
(причем
Внутренний интеграл дает
где
Ниже в этом параграфе мы будем опускать индекс Вычислим теперь с помощью (46,12) величины
входящие в интеграл столкновений, разложенный по степеням малого q (сечение
После этого интегрирование по
(здесь использовано также, что согласно (28,9) В (46,15) входит проницаемость при отличной от нуля частоте Обратим внимание на зависимость подынтегрального выражения в (46,15) от направления V через аргумент Усредняя подынтегральное выражение по всем направлениям к в плоскости, перпендикулярной Для устранения расходимости при больших передачах импульса надо, как уже указывалось, произвести «сшивку» разложенного по степеням q интеграла столкновений с неразложенным интегралом (J. Hubbard, 1961; О. Аоnо, 1962). Рассмотрим разность
где Разделим весь интервал изменения угла рассеяния на две области:
причем
При классическом рассеянии на малые углы в кулоновском поле, угол рассеяния
Поэтому значению
Но точно таков же вклад области
и потому в (46,7) можно положить Таким образом, вклад в разность (46,16) возникает только от области Во всей этой области передача импульса мала, так что интеграл столкновений можно разлагать по степеням q. Входящие в разложенный
где в качестве пределов в двойных интегралах (по
Первый член в (46,19), будучи преобразован как при выводе (46.15), дает в (46,18) вклад
Это выражение как раз совпадает с тем, которое получилось бы при разложении интеграла (46,7), взятого по области Для преобразования остальных членов в (46,19) замечаем, что в их подынтегральных выражениях можно положить
поэтому надо сохранить только члены, остающиеся конечными при
где индексы «кл» и «Б» указывают, что значения Каждый из двух интегралов по
Воспользовавшись известным интегральным представлением функций Бесселя и равенством
или, после интегрирования по частям,
Здесь учтено, что параметр С помощью значений
(где C = 0,577... — постоянная Эйлера;
Подводя итог произведенным вычислениям, приходим к результату, что в квазиклассическом случае лишенный расходимостей интеграл столкновений может быть представлен в виде
где В силу сделанных при выводе пренебрежений, этот результат справедлив, конечно, лишь с «улучшенной логарифмической точностью»: кинетическое уравнение с интегралом столкновений (46,23) позволяет улучшить точность вычислений лишь в смысле определения точного коэффициента в аргументе большого логарифма (с этой точностью, разумеется, из всех ответов выпадает
|
Оглавление
|