Главная > Физика > Теоретическая физика. Т. II. Теория поля
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 19. Постоянное электромагнитное поле

Постоянным электромагнитным полем мы называем поле, не зависящее от времени. Очевидно, что потенциалы постоянного поля можно выбрать так, чтобы они были функциями только от координат, но не от времени. Постоянное магнитное поле по-прежнему равно H = rotA. Постоянное же электрическое поле

(19,1)

Таким образом, постоянное электрическое поле определяется только скалярным потенциалом, а магнитное — векторным потенциалом.

Мы видели в предыдущем параграфе, что потенциалы поля определены не однозначно. Легко, однако, убедиться в том, что если описывать постоянное электромагнитное поле с помощью не зависящих от времени потенциалов, то к скалярному потенциалу можно прибавить, не изменяя поля, лишь произвольную постоянную (не зависящую ни от координат, ни от времени). Обычно на накладывают еще дополнительное условие, требуя, чтобы он имел определенное значение в определенной точке пространства; чаще всего выбирают так, чтобы он был равен нулю на бесконечности. Тогда и упомянутая произвольная постоянная становится определенной, и скалярный потенциал постоянного поля, таким образом, становится вполне однозначным.

Напротив, векторный потенциал по-прежнему не однозначен даже для постоянного электромагнитного поля; к нему можно прибавить градиент любой функции координат.

Определим, чему равна энергия заряда в постоянном электромагнитном поле. Если поле постоянно, то и функция Лагранжа для заряда не зависит, явно от времени.

Как известно, в этом случае энергия сохраняется, совпадая с функцией Гамильтона. Согласно (16,6) имеем:

Таким образом, вследствие наличия поля к энергии частицы, прибавляется член — потенциальная энергия заряда в поле. Отметим существенное обстоятельство, что энергия зависит только от скалярного, но не от векторного потенциала. Другими словами, магнитное поле не влияет на энергию зарядов; энергию частицы может изменить только электрическое поле. Это связано с тем, что магнитное поле, в противоположность электрическому, не производит над зарядом работы.

Если напряженность поля во всех точках пространства одинакова, то поле называют однородным. Скалярный потенциал однородного электрического поля может быть выражен через напряженность поля согласно равенству

Действительно, при E = const имеем .

Векторный же потенциал однородного магнитного поля выражается через напряженность этого поля Н в виде

Действительно, при Н = const находим с помощью известных формул векторного анализа:

(напомним, что

Векторный потенциал однородного магнитного поля можно выбрать иначе, например, в виде

(ось выбрана вдоль направления Н). Легко убедиться, что и при таком выборе А имеет место равенство Н = rotА. В соответствии с формулами преобразования (18,3) потенциалы (19,4) и (19,5) отличаются друг от друга градиентом некоторой функции: (19,5) получается из (19,4) прибавлением , где .

Задача

Написать вариационный принцип для траектории частицы (принцип Мопертюи) в постоянном электромагнитном поле в релятивистской механике.

Решение. Принцип Мопертюи заключается в том, что если полная энергия частицы сохраняется (движение в постоянном поле), то ее траектория может быть определена из вариационного уравнения

где Р — обобщенный импульс частицы, выраженный через энергию и дифференциалы координат, а интеграл берется вдоль траектории частицы (см. I § 44). Подставляя и замечая, что направления совпадают, имеем!

где есть элемент дуги. Определяя из находим окончательно:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление