Главная > Физика > Теоретическая физика. Т. II. Теория поля
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА IV. УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

§ 26. Первая пара уравнений Максвелла

Из выражений

легко получить уравнения, содержащие только Е и Н. Для этого определим rot Е:

Но ротор всякого градиента равен нулю; следовательно,

Взяв дивергенцию от обеих частей уравнения rot А = Н и помня, что дивергенция всякого ротора равна нулю, находим:

Уравнения (26,1-2) составляют первую пару уравнений Максвелла. Заметим, что эти два уравнения еще не определяют вполне свойства поля. Это видно уже из того, что они определяют изменение магнитного поля со временем (производную ), но не определяют производной .

Уравнения (26,1-2) можно написать в интегральной форме. Согласно теореме Гаусса

где интеграл справа берется по всей замкнутой поверхности, охватывающей объем, по которому взят интеграл слева. На основании (26,2) имеем;

Интеграл от вектора по некоторой поверхности называется потоком вектора через эту поверхность.

Таким образом, поток магнитного поля через всякую замкнутую поверхность равен нулю.

Согласно теореме Стокса

где интеграл справа берется по замкнутому контуру, огибающему поверхность, по которой интегрируется слева. Из (26,1) находим, интегрируя обе части по некоторой поверхности:

Интеграл вектора по замкнутому контуру называется циркуляцией этого вектора по контуру. Циркуляцию электрического поля называют также электродвижущей силой в данном контуре. Таким образом, электродвижущая сила в некотором контуре равна взятой с обратным знаком производной по времени от потока магнитного поля через поверхность, ограничиваемую этим контуром.

Уравнения Максвелла (26,1-2) можно написать и в четырехмерных обозначениях. Исходя из определения тензора электромагнитного поля

легко убедиться, что

Выражение, стоящее в левой стороне равенства, представляет собой тензор третьего ранга, антисимметричный по всем трем индексам. Его компоненты не равны тождественно нулю лишь при . Всего, таким образом, имеется четыре различных уравнения, которые, как легко убедиться подстановкой выражений (23,5), совпадают с уравнениями (26,1-2).

Антисимметричному 4-тензору третьего ранга можно привести в соответствие дуальный ему 4-вектор, получающийся умножением тензора на и упрощением по трем парам индексов (см. § 6). Таким образом, (26,5) можно написать в виде

явно выражающем тот факт, что здесь имеется всего четыре независимых уравнения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление