Главная > Физика > Теоретическая физика. Т. II. Теория поля
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 28. Четырехмерный вектор тока

Вместо того чтобы рассматривать заряды как точечные, в целях математического удобства часто рассматривают заряд как распределенный в пространстве непрерывным образом. Тогда можно ввести плотность заряда так, что dV есть заряд, находящийся в объеме dV; есть, вообще говоря, функция от координат и времени. Интеграл от по некоторому объему есть заряд, находящийся в этом объеме.

При этом надо помнить, что в действительности заряды являются точечными, так что плотность равна нулю везде, кроме тех точек, где находятся точечные заряды, а интеграл должен быть равен сумме тех зарядов, которые находятся в данном объеме. Поэтому можно написать с помощью -функций в следующем виде:

где сумма берется по всем имеющимся зарядам, а — радиус-вектор заряда .

Заряд частицы есть, по самому своему определению, величина инвариантная, т. е. не зависящая от выбора системы отсчета.

Напротив, плотность не есть инвариант, — инвариантом является лишь произведение

Умножим равенство с обеих сторон на

Слева стоит 4-вектор (так как есть скаляр, — 4-вектор). Значит, и справа должен стоять 4-вектор. Но dVdt есть скаляр, а потому есть 4-вектор. Этот вектор (обозначим его через ) носит название 4-вектора плотности тока:

Его три пространственные компоненты образуют трехмерную плотность тока

есть скорость заряда в данной точке. Временная же составляющая 4-вектора (28,2) есть ср. Таким образом,

Полный заряд, находящийся во всем пространстве, равен интегралу dV по всему пространству. Можно написать этот интеграл в четырехмерном виде:

где интегрирование производится по всей четырехмерной гиперплоскости, перпендикулярной к оси х (очевидно, что это и означает интегрирование по всему трехмерному пространству). Вообще интеграл взятый по любой гиперповерхности, есть сумма зарядов, мировые линии которых пересекают эту гиперповерхность.

Введем 4-вектор тока в выражение (27,7) для действия и преобразуем второй член в этом выражении. Введя вместо точечных зарядов непрерывное распределение с плотностью , напишем этот член в виде

заменив сумму по зарядам интегралом по всему объему. Переписав его как

мы видим, что этот член равен

Таким образом, действие S принимает вид

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление