Главная > Физика > Теоретическая физика. Т. II. Теория поля
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 34. Теорема вириала

Поскольку след тензора энергии-импульса электромагнитного поля равен нулю, то сумма для любой системы взаимодействующих частиц сводится к следу тензора энергии-импульса одних лишь частиц. Врспользовавшись выражением (33,5), имеем поэтому:

Перепишем этот результат, возвратившись к суммированию по частицам, т. е. представив в виде суммы (33,4). Тогда получим окончательно:

Отметим, что согласно этой формуле для всякой системы имеем:

причем знак равенства имеет место только для электромагнитного поля без зарядов.

Рассмотрим замкнутую систему заряженных частиц, совершающих финитное движение, при котором все характеризующие систему величины (координаты, импульсы) меняются в конечных интервалах.

Выведем соотношение, связывающее полную энергию системы с некоторыми усредненными по времени ее характеристиками.

Усредним уравнение

(см. (32,12)) по времени. При этом среднее значение производной , как и вообще производной от всякой величины, меняющейся в конечном интервале, равно нулю. Поэтому находим:

Умножаем это уравнение на и интегрируем по всему пространству. Интеграл преобразуем по теореме Гаусса, имея в виду, что на бесконечности , и потому интеграл по поверхности исчезает:

или окончательно:

На основании этого равенства мы можем написать для интеграла от

где — полная энергия системы.

Наконец, подставляя сюда (34,1), найдем:

Это соотношение является релятивистским обобщением теоремы вириала классической механики (см. I § 10). Для малых скоростей оно переходит в

т. е. полная энергия системы за вычетом энергии покоя частиц равна взятому с обратным знаком среднему значению кинетической энергии, в согласии с результатом, получаемым из классической теоремы вириала для системы частиц, взаимодействующих по закону Кулона.

Необходимо отметить, что полученные формулы носят до некоторой степени формальный характер и нуждаются в уточнении. Дело в том, что энергия электромагнитного поля содержит члены с бесконечным вкладом от собственной электромагнитной энергии точечных зарядов (см. § 37). Чтобы придать смысл соответствующим выражениям, следует опустить эти члены, считая, что собственная электромагнитная энергия уже включена в кинетическую энергию частицы (9,4). Это означает, что мы должны произвести «перенормировку» энергии, сделав замену в (34,4)

где - поля, создаваемые а-й частицей. Аналогично в (34,3) следует заменить

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление