Главная > Физика > Теоретическая физика. Т. II. Теория поля
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 42. Система зарядов во внешнем поле

Рассмотрим систему зарядов, находящуюся во внешнем электрическом поле. Посредством будем теперь обозначать потенциал этого внешнего поля. Потенциальная энергия каждого из зарядов есть а полная потенциальная энергия системы равна

Выберем снова систему координат с началом где-нибудь внутри системы зарядов; — радиус-вектор заряда в этих координатах.

Предположим, что внешнее поле слабо меняется на протяжении системы зарядов, т. е. является по отношению к этой системе квазиоднородным. Тогда мы можем разложить энергию U в ряд по степеням :

В этом разложении первый член есть

где — значение потенциала в начале координат. В этом приближении энергия системы такова, как если бы все заряды находились в одной точке.

Второй член разложения

Введя нафряженность поля в начале координат и дипольный момент d системы, имеем:

Полная сила, действующая на систему во внешнем квазиоднородном поле, есть, с точностью до рассмотренных членов,

Если полный заряд равен нулю, то первый член исчезает и тогда

т. е. сила определяется производными напряженности поля (взятыми в начале координат). Полный же момент действующих на систему сил есть

т, е. определяется самой напряженностью поля.

Рассмотрим две системы с равными нулю суммами зарядов в каждой из них и дипольными моментами причем их взаимное расстояние велико по сравнению с их собственными размерами. Определим потенциальную энергию U их взаимодействия. Для этого можно рассматривать одну из этих систем как находящуюся в поле второй. Тогда

где — поле первой системы. Подставляя для выражение (40,8), находим:

где R — вектор расстояния между обеими системами.

Для случая, когда у одной из систем сумма зарядов отлична от нуля (и равна ), получаем аналогичным образом:

где R — вектор, направленный от диполя к заряду.

Следующий член разложения (42,1) равен

Здесь мы, как и в § 41, опустили индексы, указывающие номер заряда; значения вторых производных от потенциала берутся в начале координат. Но потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа

Поэтому мы можем написать:

или, окончательно,

Общий член ряда (42,2) может быть выражен через определенные в предыдущем параграфе -польные моменты D Для этого надо предварительно разложить потенциал в ряд по шаровым функциям; общий вид такого разложения:

где — сферические координаты точки, а — постоянные коэффициенты.

Составляя сумму (42,1) и учитывая определение (41,13), получим:

(42.11)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление